x n - y n の因数分解

x n - y n の因数分解 Factorization of x n - y n

 x n - y n は必ず x - y の因子を持ちます:

  x n - y n = (x - y)(x n-1 + x n-2 y + ...... + x y n-2 + y n-1)   [1]

 一般の n で表記すると分かり難いのですが、具体的に書き下してみると ......

  x 2 - y 2 = (x - y)(x + y)   [2]

  x 3 - y 3 = (x - y)(x 2 + xy + y 2)   [3]

という因数分解公式が得られます。x の次数を順次下げていき、代わりに y の次数を増やしていくという形になっています。

[1] の証明

 S = x n-1 + x n-2 y + ...... が等比数列であることに着目します。
 初項は x n-1, 公比は y / x ですから、
 
\[S=x^{n-1}\: \frac{\left [ 1-(y/x)^{n} \right ]}{1-y/x}=\frac{x^{n}-y^{n}}{x-y}\]
となり、x n - y n = (x - y) S が示されました。

計算例① x 4 - y 4

 n = 4 のときは、

  x 4 - y 4 = (x 2 - y 2)(x 2 + y 2) = (x - y)(x + y)(x 2 + y 2)

のように複数回に分けて公式を適用します。

計算例② x 5 - y 5

 n が奇素数であれば [1] を 1 回だけ適用して因数分解終了です:

  x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + x y 3 + y 4)
 

x n + y n の因数分解 Factorization of x n + y n

 たとえば、

  x 3 - y 3 = (x - y)(x 2 + xy + y 2)

のように n が奇数の場合 [*] は y ⇒ - y という置換をすれば、

  x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 - xy + y 2)   [4]

という公式が得られます。

計算例③ x 5 + y 5

 計算例②の式で y ⇒ - y と置き換えます:

  x 5 + y 5 = (x + y)(x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - x y 3 + y 4)

 y の奇数乗の項の符号が入れ替わることに注意してください。

計算例④ x 6 + y 6

 [*] より正確に言うならば、 n が偶数であっても奇数の素因数を持てば因数分解できることになります。たとえば n = 6 の場合を考えてみます:

  P = x 6 + y 6

 x 2 = X, y 2 = Y とおけば

  P = X 3 + Y 3 = (X + Y)(X 2 - XY + Y 2)

  ∴ P = (x 2 + y 2)(x 4 - x 2 y 2 + y 4)

というように因数分解できます。

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