不定方程式の整数解と自然数解の個数

[問題 PS-10] 不定方程式の整数解と自然数解の個数

 次の不定方程式の整数解の個数はそれぞれいくつありますか。
\[\begin{align*}&(1)\,x+y+z=7\quad (x\geq 0,\;y\geq 0,\;z\geq 0)\\[6pt]
&(2)\,x+y+z=7\quad (x\geq 1,\;y\geq 1,\;z\geq 1)\end{align*}\]
 

ヒント(重複組合せです)

 重複組合せの定番の問題です。(2) は変数変換で簡単に解くことができます。
 ≫ 重複組合せについてはこちらを参照してください。
 

解答 PS-10

(1) 方程式の解を $7$ 個の ○ と $2$ 個の | を使って、たとえば

○○|○○○|○○

のように表します。左端にある ○ の数が $x$ , 真ん中が $y$ , 右端が $z$ です。上の例では $x=2,\;y=3,\;z=2$ に対応しています。

|○○○○|○○○

であれば、$x=0,\;y=4,\;z=3$ です。いずれにしても、$9$ 個の中から同じものを $7$ 個と $3$ 個含む順列なので、解の個数は
 
\[\frac{9!}{7!\,2!}=36\:個\]
となります。

(2) $X=x-1$ と変数変換すると $X\geq 0$ となります。
  同様に $Y=y-1,\;Z=z-1$ とおくと、与えられた方程式は
 
\[X+Y+Z=4\]
となります。$(X,\;Y,\;Z)$ は $(x,\;y,\;z)$ と $1$ 対 $1$ に対応しているので、その組合せの個数も一致します。(1) と同じように ○ と | で

○|○|○○

のように表せば、| で区切られた部分がそれぞれ $X,\;Y,\;Z$ に対応するので、解の個数は
 
\[\frac{6!}{4!\,2!}=15\:個\]
となります。
 

別解 PS-10

 $n$ 種類のものから $r$ 個選ぶときの、重複組合せの公式
 
\[{}_n\mathrm{H}_r=\:{}_{n+r-1}\mathrm{C}_r\]
を使って解くこともできます。

(1) $(x,\;y,\;z)$ の $3$ 種類から重複を許して $7$ 個を選ぶと考えて、
 
\[{}_3\mathrm{H}_7=\:{}_{9}\mathrm{C}_7=36\:個\]
となります。

(2) $X=x-1,\;Y=y-1,\;Z=z-1$ とおくと
 
\[X+Y+Z=4\]
 $(X,\;Y,\;Z)$ の $3$ 種類から重複を許して $4$ 個を選ぶと考えて、
 
\[{}_3\mathrm{H}_4=\:{}_{6}\mathrm{C}_4=15\:個\]
となります。 ≫ [問題11] 切手を買います
 
 

[問題 PS-11] 合計金額が 100 円になるように切手を買います

 $5$ 円、$10$ 円、$20$ 円の $3$ 種類の切手を合わせて $100$ 円買うには、何通りの買い方がありますか。ただし切手は必ず $3$ 種類とも含むものとします。

(日本大)

 
 

ヒント (5 円切手の枚数にはある制約があります)

 不定方程式の整数解の個数を求める問題ですが、合計金額を考えると、$5$ 円切手の枚数には制約があります。
 

解答 PS-11

 $5$ 円切手の枚数を $x$ , $10$ 円切手の枚数を $y$ , $20$ 円切手の枚数を $z$ とすると、
 $5x+10y+20z=100$ より
 
\[x+2y+4z=20\]
という方程式が立てられます。ただし合計金額が $100$ 円なので、$x$ は偶数であるはずです。そこで $x=2x'$ とおくと、
 
\[x'+y+2z=10\]
となります。どの切手も少なくとも $1$ 枚は買うので、$z\lt 5$ です。すなわち、$z$ のとりうる値は $z=1,\;2,\;3,\;4$ のいずれかです。$z=1$ のときは
 
\[x'+y=8\]
 $x'$ と $y$ はともに $1\sim 7$ の数字をとれるので、この方程式を満たす $(x',\:y)$ の組合せは $7$ 通り存在します。同様に考えて

   $z=2$ のとき、$x'+y=6$ を満たす解は $5$ 通り
   $z=3$ のとき、$x'+y=4$ を満たす解は $3$ 通り
   $z=4$ のとき、$x'+y=2$ を満たす解は $1$ 通り

となるので、答えは合わせて $16$ 通りとなります。

 ≫ [問題12] 展開式の定数項 ≫ 確率統計演習問題

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