xn/m の積分

xn/m の積分 Integral of xn/m

 x のべき乗の積分で、指数部分が n/m の形になっている場合の公式です:
 
\[ \int x^{\frac{n}{m}}dx=\frac{m}{m+n}x^{\frac{m+n}{m}}+C \]
 m や n がごちゃごちゃと入ったこの式を丸ごと覚えるのではなく、次のような形でやり方を頭に入れておきます。

 有理数べき乗積分例

 普段用いている「指数に 1 を加えてひっくり返して係数にする」という方法でも慣れていれば、さほど計算速度に差はないかもしれませんが、それでも 1, 2 秒の差はつくでしょうし、理工系の学生さんであれば、この先何千回とこの種の計算を行うことを考えると、積もり積もれば結構な時間差になります(まさに積分?)。こちらの方法に切り替えて損はないと思いますよ。

 また特に m = 2, n = 1 の場合、すなわち √x の積分は特に頻出するでしょうから、これはそのまま覚えてしまいましょう:
 
\[
\int \sqrt{x}dx=\frac{2}{3}\; x^{\frac{3}{2}}+C
\]
 以下にいくつか計算例を示しておいたので、できれば手も動かして確認しておいてください。
 
\[\begin{align*}
\int x^{\frac{1}{3}}dx=\frac{3}{4}\; x^{\frac{4}{3}}+C\\
\int x^{\frac{1}{4}}dx=\frac{4}{5}\; x^{\frac{5}{4}}+C\\
\int x^{\frac{3}{2}}dx=\frac{2}{5}\; x^{\frac{5}{2}}+C\\
\int x^{\frac{3}{4}}dx=\frac{4}{7}\; x^{\frac{7}{4}}+C
\end{align*}\]

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