無理関数の微分積分

sqrt [f(x)] の微分 Derivative of sqrt[f(x)]

 次の積分は見た瞬間に思い浮かぶぐらいにしておきたいところ:
 
\[
(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} \tag{1}\]
 このような公式は単独ではさほど有難味を感じられませんが、次のような合成関数の微分計算で威力を発揮します:
 
\[
(\mathrm{sin}\sqrt{x})'=\frac{\mathrm{cos}\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\]
 また別の記事で扱う \((\mathrm{tan}x)' =\mathrm{sec}^2x\) と組合わせれば、
 
\[(\mathrm{tan}\sqrt{x})'=\frac{\mathrm{sec}^{2}\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\]
というような計算も素早く行うことができます。いくつかの公式を覚えることで、さらにそれらの公式を組合わせた計算が可能になり、計算速度を飛躍的に増し加えてていくことができるのです。また (1) を使うと、直ちに次の公式が導かれます:
 
\[\left ( \sqrt{1+x^{2}} \right )'=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \tag{2}\]
 

sqrt [f(x)] の積分 Integral of sqrt[f(x)]

 (1) と (2) を積分形式に書き直しておきましょう。
 
\[\begin{align*}
&\int \frac{1}{\sqrt{x}}\; dx=2\sqrt{x}+C\tag{3}\\
&\int \frac{x}{1+x^{2}}\; dx=\sqrt{1+x^{2}}+C\tag{4}\end{align*}\]
 今回の記事で扱った公式を用いると、次のような複雑な計算も素早く実行できます:

\[\begin{align*}
\int \mathrm{log}(x+\sqrt{1+x^{2}})dx&=x\; \mathrm{log}(x+\sqrt{1+x^{2}})-\int x\; \frac{1+x/\sqrt{1+x^{2}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\; dx\\
&=x\; \mathrm{log}(x+\sqrt{1+x^{2}})-\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\; dx\\
&=x\; \mathrm{log}(x+\sqrt{1+x^{2}})-\sqrt{1+x^{2}}+C\end{align*} \]

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