三角関数の 2 乗および 3 乗の積分公式

三角関数 2 乗の積分公式
 Integral of sin2x, Integral of cos2x, Integral of tan2x

 sin2x, cos2x, tan2x の積分はよく出てきますし、比較的簡単な形をしているので、覚えてしまって損はありません:
 
\[\begin{align*}
\int \mathrm{sin}^{2}xdx&=\frac{x}{2}-\frac{\mathrm{sin}2x}{4}+C\tag{1}\\
\int \mathrm{cos}^{2}xdx&=\frac{x}{2}+\frac{\mathrm{sin}2x}{4}+C\tag{2}\\
\int \mathrm{tan}^{2}xdx&=\mathrm{tan}x-x+C\tag{3}
\end{align*}\]
 特に定積分の場合は区間 [0, pi/2] の積分を1ユニットとして記憶します:
 
\[\int_{0}^{\pi /2}\mathrm{sin}^{2}xdx=\frac{\pi}{4}\tag{4}\] 
 この値を知っていれば、区間 [0, pi] における積分なら倍の pi/2、区間 [0, 2*pi] における積分であれば 4 倍の pi を得ることになります(下図参照)。cos2x の積分も区間 [0, n*pi] の積分であれば全く同じ値をとることになります。

 sin^2x面積

 余力があれば、(1) ~ (3) をより一般化した次の公式を覚えてください;
 
\[\begin{align*}
\int \mathrm{sin}^{2}mxdx&=\frac{x}{2}-\frac{\mathrm{sin}\, 2mx}{4m}+C\tag{5}\\
\int \mathrm{cos}^{2}mxdx&=\frac{x}{2}+\frac{\mathrm{sin}\, 2mx}{4m}+C\tag{6}\\
\int \mathrm{tan}^{2}mxdx&=\frac{\mathrm{tan}\, mx}{m}-x+C\tag{7}
\end{align*}\]

 cosec2x, sec2x, cot2x の積分はより簡単な形をしています:
 
\[\begin{align*}
&\int \mathrm{cosec}^{2}xdx=-\mathrm{cot}x+C\tag{8}\\
&\int \mathrm{sec}^{2}xdx=\mathrm{tan}x+C\tag{9}\\
&\int \mathrm{cot}^{2}xdx=-\mathrm{cot}x-x+C\tag{10}
\end{align*}\]
 cosec や sec の記号に慣れない人のために書き直しておくと、
 
\[\begin{align*}
&\int \frac{dx}{\mathrm{sin}^{2}x}=-\frac{1}{\mathrm{tan}x}+C\tag{11}\\
&\int \frac{dx}{\mathrm{cos}^{2}x}=\mathrm{tan}x+C\tag{12}\\
&\int cot^{2}xdx=-\frac{1}{\mathrm{tan}x}-x+C\tag{13}
\end{align*}\]

計算例

\[\begin{align*}
\int \frac{dx}{\mathrm{cos}^{2}x\mathrm{sin}^{2}x}&=\int \left (\frac{1}{\mathrm{cos}^{2}x}+\frac{1}{\mathrm{sin}^2{x}} \right )dx\\
&=\mathrm{tan}x-\mathrm{cot}x+C\end{align*}\]
 

三角関数 3 乗の積分公式
 Integral of sin3x, Integral of cos3x

 sin3x および cos3x の積分です。意外と覚えやすい形をしています:
 
\[
\begin{align*}\int \mathrm{sin}^{3}xdx=\frac{1}{3}\mathrm{cos}^{3}x-\mathrm{cos}x+C\tag{1}\\
\int \mathrm{cos}^{3}xdx=\mathrm{sin}x-\frac{1}{3}\mathrm{sin}^{3}x+C\tag{2}\end{align*}
\]
 sin に対しては cos が、cos に対しては sin が式に現れてくるとイメージしておくと覚えやすいです。とくに 0 から pi/2 までの積分は 
 
\[\int_{0}^{\pi/2} \mathrm{sin}^{3}xdx=\int_{0}^{\pi/2} \mathrm{cos}^{3}xdx=\frac{2}{3}\tag{3}\]
 となります。 sin2x の積分のときと同様に、上式を 1 ユニットとして区間 [0,pi], [0,3pi/2] について計算することも可能ですが、三角関数の指数部分が奇数の場合は負の面積が生じるので単純に定数倍することはできません。以下の解説を参考にしてください。

ユニットを用いた計算① sin3x の定積分

 sinx3乗積分

 この図から sin3x の定積分に関しては、
 
\[\begin{align*}
&\int_{0}^{\pi} \mathrm{sin}^{3}xdx=\frac{4}{6}\\
&\int_{0}^{3\pi/2} \mathrm{sin}^{3}xdx=\frac{2}{3}\\
&\int_{0}^{2\pi} \mathrm{sin}^{3}xdx=0\end{align*}\]
このような計算が成立します。

ユニットを用いた計算② cos3x の定積分

 cosx3乗積分

 cos3x の定積分は、
 
\[\begin{align*}
&\int_{0}^{\pi} \mathrm{cos}^{3}xdx=0\\
&\int_{0}^{3\pi/2} \mathrm{cos}^{3}xdx=-\frac{2}{3}\\
&\int_{0}^{2\pi} \mathrm{cos}^{3}xdx=0\end{align*}\]
が成り立ちます。図を明確にイメージすれば(というより紙に簡単な図を描いてください)、区間 [pi,3pi/2] についても同様の計算が可能です。

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