相加平均と相乗平均、調和平均の関係

相加平均と相乗平均
 Arithmetic mean and Geometric mean

 よく知られた 相加平均相乗平均 の関係です。
 2 数、 3 数に関する公式はよく目にすると思います。正の数 a, b, c について
 
\[\begin{align*}\frac{a+b}{2}&\geq \sqrt{ab}\tag{1}\\
\frac{a+b+c}{2}&\geq \sqrt[3]{abc}\tag{2}\end{align*}\]
 (1) については a = b, (2) については a = b = c のとき等号成立します。
 しかし、相加・相乗平均の関係は一般に n 個の数 a1, a2, ...... , an について成り立つことが知られています。
 
\[\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n}\geq \left [\: \prod_{i=1}^{n}a_{i} \: \right ]^{1/n}\tag{3}\]
 a1 = a2 = ...... = an のとき等号成立です。

 Π は i = 1 から n まで変化させながら ai を掛けるという記号です。
 もう少しわかりやすい表記で書くと次のようになります。
 
\[\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}\geq \: \sqrt[n]{a_{1}\: a_{2}\: \cdots\: a_{n}}\tag{4}\]

相加・相乗平均の関係 (3) の証明

 証明にはマクローリン級数から得られる不等式

expx ≧ 1 + x

を用います。ここで、
 
\[m=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n},\;\; \; x=\frac{a_{i}}{m}-1\]
とおくと、
 
\[exp\left (\: \frac{a_{i}}{m}-1\: \right )\geq \frac{a_{i}}{m}\]
が得られます。すべての i について辺々を掛け合わせると
 
\[exp\left (\: \frac{a_{1}}{m}-1\: \right )\cdots exp\left (\: \frac{a_{n}}{m}-1\: \right )\geq \frac{a_{1}}{m}\: \cdots\: \frac{a_{n}}{m}\tag{*}\]
すなわち
 
\[exp\left ( \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{m}-n \right )\geq \frac{\prod_{i=1}^{n}a_{i}}{m^{n}}\]
が成り立ちます。定義より Σai/m = n ですから、
 
\[\begin{align*}
&m\geq \left [ \: \prod_{i=1}^{n}a_{i}\: \right ]^{1/n}\\
&\sum_{i=1}^{n}a_{i}\geq n \left [\: \prod_{i=1}^{n}a_{i}\: \right ]^{1/n}
\end{align*}\]
となることが示されました。また不等式

expx ≧ 1 + x

は x = 0 のときに等号成立しますから、(*) で等号が成立するためには全ての i について

ai / m -1 = 0 ⇔ ai = m

を満たす必要があります。すなわち

a1 = a2 = ...... = an

が等号成立の条件となります(証明終)。

計算例① x + 1/x

 x と 1/x について
 
\[x+\frac{1}{x}\geq 2\: \sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2\]
が成り立つことがわかります。等号成立は

x = 1/x ⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1

のときです。

計算例② 調和平均との大小関係

 1/a と 1/b について
 
\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\: \sqrt{\frac{1}{ab}}\]
が成り立ちます(等号成立は a = b のとき)。両辺の逆数をとると
 
\[\frac{2}{1/a+1/b}\leq \sqrt{ab}\]
 左辺のことを 調和平均 と呼びます。相加平均も含めた大小関係は
 
\[\frac{a+b}{2}\: \geq \: \sqrt{ab}\: \geq \: \frac{2}{1/a+1/b}\]
となります。

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