xsinx と xcosx の積分

xsinx と xcosx の積分
 Integral of xsinx, Integral of xcosx

 導出することは難しくありませんが、できれば覚えてしまって少しでも時間を節約したいところです:
 
\[\begin{align*}\int x\mathrm{sin}xdx=\mathrm{sin}x-x\mathrm{cos}x+C\tag{1}\\
\int x\mathrm{cos}xdx=\mathrm{cos}x+x\mathrm{sin}x+C\tag{2}\end{align*}\]

(1) と (2) の証明

 xsinx の積分は部分積分によっても求められますが、xcosx を微分するほうがより簡単です:

  \((x\mathrm{cos}x)' = \mathrm{cos}x-x\mathrm{sin}x = (\mathrm{sin}x)' - x\mathrm{sin}x\)

  \(\therefore x\mathrm{sin}x = (\mathrm{sin}x)' - (x\mathrm{cos}x)'\)

 同様に xcosx の積分は xsinx を微分することによって得られます:

  \((x\mathrm{sin}x)' = \mathrm{sin}x + x\mathrm{cos}x = (-\mathrm{cos}x)' + x\mathrm{cos}x\)

  \(\therefore x\mathrm{cos}x = (\mathrm{cos}x)' + (x\mathrm{sin}x)'\)
 

f(x) = xsinx のグラフ

 f(x) = xsinx およびその原始関数 F(x) のグラフを下に載せておきます。

 F=sinx-xcosx

計算例

 三角関数の変数が mx になっているときは t = mx と変換します:
 
\[\begin{align*}\int x\mathrm{sin}mxdx&=\frac{1}{m^{2}}\int t\mathrm{sin}t\: dt\\
&=\frac{1}{m^{2}}(\mathrm{sin}t-t\mathrm{cos}t)+C\\
&=\frac{1}{m^{2}}\: \mathrm{sin}mx-\frac{x}{m}\mathrm{cos}mx+C\end{align*}\]
\[\begin{align*}\int x\mathrm{cos}mxdx&=\frac{1}{m^{2}}\int t\mathrm{cos}t\: dt\\
&=\frac{1}{m^{2}}(\mathrm{cos}t+t\mathrm{sin}t)+C\\
&=\frac{1}{m^{2}}\: \mathrm{cos}mx+\frac{x}{m}\mathrm{sin}mx+C\end{align*}\]
 余力があれば、この m を含んだ公式を覚えてしまいましょう。

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