不定形 ∞ - ∞ の極限値

[問題 CL-03] 不定形 ∞ - ∞ の極限値

 極限 \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }(\sqrt{x^2+3x-1}-\sqrt{x^2-x+1})\) を求めてください。 (関西大)

問題 CL-03 のヒント

 ∞ - ∞ の不定形です。
 この種の問題に対する定石があります。

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問題 CL-03 の解答

 -x = t とおくと、t → ∞ となります。
 あとは分子を有理化して極限値を計算します。
 
\[\begin{align*}&\lim_{t\rightarrow \infty }(\sqrt{t^2-3t-1}-\sqrt{t^2+t+1})\\[6pt]
&=\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{(\sqrt{t^2-3t-1}-\sqrt{t^2+t+1})(\sqrt{t^2-3t-1}+\sqrt{t^2+t+1})}{\sqrt{t^2-3t-1}+\sqrt{t^2+t+1}}\\[6pt]
&=\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{t^2-3t-1-(t^2+t+1)}{\sqrt{t^2-3t-1}+\sqrt{t^2+t+1}}\\[6pt]
&=\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{-4t-2}{\sqrt{t^2-3t-1}+\sqrt{t^2+t+1}}\\[6pt]
&=\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{-4-2/t}{\sqrt{1-3/t-1/t^2}+\sqrt{1+1/t+1/t^2}}\\[6pt]
&=\frac{-4}{1+1}=-2\end{align*}\]

 ≫ [問題04] 微分の定義式 ≫ 数学演習問題

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