どの 2 つの数の和も残りの数で割ると 1 余ります

[問題 NT-29] どの 2 つの数の和も残りの数で割ると 1 余ります

 相異なる自然数 $a,\:b,\:c\: (a \lt b \lt c)$ があって、どの 2 つの和も残りの数で割ると 1 余ります。
(1) $a+b$ を $c$ で割ったときの商を求めてください。
(2) $a+c$ を $b$ で割ったときの商を求めてください。
(3) $a,\:b,\:c$ を求めてください。

(早大)

問題 NT-29 のヒント

 必要な予備知識は中1数学のみですが、それでも意外と難しかったりします。上手く不等式で絞り込んで商を見つけてください。(1), (2) が解けたら (3) はおまけのようなものです。(1) と (2) で得られた式から不要な文字を消去すれば答えは得られます。

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問題 NT-29 の解答

(1) $a,\:b,\:c$ は自然数かつ $a \lt b \lt c$ なので
 
\[1 \leq a \lt b \lt c\]
が成り立ちます。このことから
 
\[a \geq 1,\quad b \geq 2,\quad a+b \geq 3\]
という下限がわかります。また
 
\[a+b \lt c+c=2c\]
という上限も得られます。これは $a+b$ を 2 で割ったときの商が 1 であることを意味しています。

(2) (1) の結果と問題文にある「どの 2 つの和も残りの数で割ると 1 余る」という条件から
\[a+b=c+1 \tag{A}\]
と書くことができます。この式と $a \gt b \gt c$ という条件から不等式を作っていきます。式 (A) を少し変形すると
 
\[a+c=-b+2c+1 \gt -b+2b+1=b+1\]
という不等式が得られます。また (A) から
 
\[c=a+b-1\]
なので、
 
\[a+c=2a+b-1 \lt 2a+b \lt 3b\]
という不等式をつくることができます。2 つの不等式を合わせて
 
\[b+1 \lt a+c \lt 3b\]
となります。各辺を b で割ると
 
\[1+\frac{1}{b} \lt \frac{a+c}{b} \lt 3\]
となります。商は 1 か 2 であることがわかりますが、左辺は 1 余って、右辺は余りなしです。問題の条件から $a+c$ を $b$ で割ったときの余りは 1 なので、商は 2 であるとわかります。

(3) (2) の結果から
 
\[a+c=2b+1 \tag{B}\]
と書けます。式 (A), (B) から文字 $b,\:c$ を消去すると
 
\[(a,\:b,\:c)=(a,\:2a-2,\:3a-3)\]
という形になっていることが分かります。問題の条件より
 
\[b+c=5a-5=ma+1\]
と書けるので ( $m$ は自然数) 、
 
\[a=\frac{6}{5-m}\]
 $m=2,\:3,\:4$ で $a$ は自然数 $2,\:3,\:6$ となりますが、(1) で見たように $a \geq 3$ なので適するのは $m=3,\:6$ だけです。よって答えは
 
\[(a,\:b,\:c)=(3,\:4,\:6),\:(6,\:10,\:5)\]
となります。 ≫ [問題30] 有理数解は整数のみです ≫ 数学演習問題

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