巡回数(ダイヤル数)

不思議な巡回数(ダイヤル数)

 142857 は不思議な数です。
 この数を順に整数倍していくと

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

というように、各桁の数が順序を崩さずにぐるぐると巡回(ダイヤル)させた数になっているのです。このような数を巡回数 (cyclic number) といいます。次に 7 を掛けてみると

142857 × 7 = 999999

 あれ? 9 が並びました。巡回していませんね。
 1 倍から 6 倍までの結果が単なる偶然の産物だったのでしょうか?
 決してそんなことはありません。再び 8, 9, 10, ...... を掛けてみると

142857 × 8 = 1142856
142857 × 9 = 1285713
142857 × 10 = 1428570
142857 × 11 = 1571427
142857 × 12 = 1714284
142857 × 13 = 1857141

 微妙に規則性が崩れているように思えますが、先頭の 1 を末尾の数に加えてみると

142857
285714
428571
571428
714285
857142

というように、ちゃんと巡回しています。でも 14 をかけると

142857 × 14 = 1999998

先頭の数を末尾に加えると

999999

 再び 9 が並びました。
 もっと大きな数で試してみましょう。
 皆さんも電卓やエクセルで確認してみてください。

142857×158 = 22571406
142857×159 = 22714263
142857×160 = 22857120

 今度は左から 2 桁の数を末尾に加えると

571428
714285
857142

となっています。この巡回はずっと続きます。ただし、7 の倍数を乗じたときだけ、9 が並びます。その理由は 142857 という数字が、1 を 7 で割ったときの数

1÷7 = 0.142857142857142857 ......

の循環小数部分となっているからです。この数字に 7 を掛けてみると

0.999999999999999999 ......

となります。小数点以下に 9 が無限に続いているので、これは 1 と同じことです。つまり

(1÷7)×7 = 0.999999999999999999 ...... = 1

となって辻褄が合っていますね。

 え? 何か騙された気がする?
 0.999999999999999999 ...... は 1 ではない?
 いえ、本当なんです。
 これが微積で用いられる「極限」という概念なのです。

 実はこの巡回数、素数と深い関係があります。
 巡回数 1/p の分母 p は素数 7, 17, 29, 23, 29, 47 ...... などの素数となっています(すべての素数が巡回数の分母となるわけではありません)。こうした規則性は初等的な数論によって導かれますが、それは近いうちに数論講座で取り上げます。

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