色々な減衰振動関数

 三角関数と分数関数や指数関数を組合わせると減衰しながら振動する関数を作ることができます。
 

x で割ります

 三角関数を x で割ると、もっとも簡単な減衰振動関数となりす。例として、

f(x) = cosπx / x

という関数について x > 0 の範囲でグラフを描いてみます:

 ExcelGraph減衰振動関数01

 1/x は x → + 0 で + ∞ に発散しますから、y = f(x) は + ∞ から落ちてきて x が 1 を超えた辺りから振動を開始します。その振幅は 1/x に比例して減衰していきます。
 

√x で割ります

 分母を √x に変えて

f(x) = cosπx / √x

という関数を作ってみると ......

 ExcelGraph減衰振動関数02

 先ほどより振幅減衰率の低い周期関数です。
 

概周期関数

 上の関数に sinx を加えて

f(x) = cosπx / √x + sinx

という関数を作ります。

 ExcelGraph減衰振動関数03

 やや複雑な波形となっています。 cos の変数と sin の変数の比率が無理数 π なので、この関数は完全な周期をもたずに概周期関数(おおよその周期関数)となります。
 

指数関数と三角関数の組合せ

 三角関数に指数関数 exp(-x) を乗じて

f(x) = exp(-x) cosπx
g(x) = exp(-x) sinπx

という関数のグラフを描いてみると ......

 ExcelGraph減衰振動関数04

 exp(0) = 1 ですから有限値をとる関数です。
 減衰因子が 1/x のときよりも減衰の速い関数となっています。
 

振幅増加後に減衰に転じます

 上の関数に cos2πx / √x を加えて

f(x) = exp(-x) cosπx + cosπx / √x

としてみます。

 ExcelGraph減衰振動関数04

 x = 2 のあたりまで部分的に振幅を増加させたあと減衰に転じます。

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