等比数列と等比級数(一般項と和を求める公式)

 隣り合う二項の比が一定数 \(r\) であるような数列 \(a_{n+1}=ra_n\) のことを 等比数列 あるいは 幾何数列 (geometric progression) とよびます。また定数 \(r\) は 公比 (common ratio) とよばれます。等比数列の各項を足し合わせたものを 等比級数 (geometric series) といいます。
 

等比数列と等比級数

 初項 1, 公比 \(r\) の等比数列の一般項は
\[a_n=r^{n-1} \tag{1}\]で表され、 \(n\) 項までの和(有限等比級数)は \(r=1\) のとき
\[S_n=n \tag{2}\]となり、 \(r \neq 1\) のとき
\[S_n=\frac{1-r^n}{1-r} \tag{3}\]となります。無限等比級数は \(|r| \lt 1\) のときのみ収束して
\[S=\frac{1}{1-r} \tag{4}\]という値をもちます。 \(|r| \geq 1\) のときは発散します。

 初項が a の場合は各公式に a をかけます。

(1) の証明

 初項 1, 公比 \(r\) の等比数列を具体的に書き並べると
\[1,\quad r,\quad r^2,\quad r^3,\quad \cdots\]のようになります。各項について

  第 1 項  \(1 \times r^0\)
  第 2 項  \(1 \times r^1\)
  第 3 項  \(1 \times r^2\)

のように項番号と \(r\) の肩にある数字が 1 つだけずれているので、その一般項 (general term) は
 \[a_n=r^{n-1} \tag{1}\]と書き表せます。

(2)(3) の証明

 \(r=1\) のときは
\[S_n=1+1+1+\: \cdots \:+1=n\]となります。 \(r \neq 1\) のときは \(S_n\) と \(rS_n\) を具体的に書き並べると、

\[\begin{align*}S_n=1+r+r^2+ \: \cdots \: +r^{n-2}+r^{n-1}\\[6pt]
rS_n=r+r^2+r^3 \: \cdots \: + r^{n-1}+r^n\end{align*}\]となります。両式の差をとると 2 つの項だけが残って

\[(1-r)S_n=1-r^n\]となるので、

\[S=\frac{1-r^n}{1-r} \tag{3}\]が得られます。

(4) の証明

 \(r=1\) のときは先の公式

\[S_n=n \tag{2}\]において \(n \rightarrow \infty\) で発散します。 \(|r| \gt 1\) のときは公式

\[a_n=r^{n-1} \tag{1}\]において数列が発散するので、級数も発散します。 \(|r| \lt 1\) のときは公式

\[S=\frac{1-r^n}{1-r} \tag{3}\]において \(n \rightarrow \infty\) とすると、 \(r^n\) の項が 0 となるので

\[S=\frac{1}{1-r} \tag{4}\]が得られます。

【計算例】初項 1, 公比 1/2 の等比数列

  \(r=1/2\) なので一般項は

\[a_n= \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}\]となります。有限項の和は

\[S_n=\frac{1-\left( \cfrac{1}{2} \right)^n}{1-\cfrac{1}{2}}=2-\left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}\]となり、この式で \(n \rightarrow \infty\) の極限をとると無限級数の値 \(S=2\) を得ることができます。
 

等比数列の対数

 初項 \(a\) の等比数列の一般項

\[a_n=ar^{n-1}\]において両辺の対数をとると

\[\log a_n=\log a+(n-1) \log r\]のように書けるので、数列 \(\log a_n\) は初項 \(\log a\), 公差\(\log r\) の等差数列となります。
 

等比数列の連続した 3 つの項

 等比数列の任意の連続した 3 つの項 \(a,\:b,\:b\) について
\[b^2=ac \quad (b \neq 0) \tag{5}\]が成り立ちます。

(5) の証明

 公比を \(r\) とすると

\[\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=r\]が成り立つので、

\[b^2=ac \quad (b \neq 0) \tag{5}\]が得られます。

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。