平方して 3 で割り切れる数

問題 01 平方して 3 で割り切れる数

 5 で割ると 3 余り、平方して 3 で割り切れるような 2 桁の整数を全て求めてください。

問題 01 の解答 A

 5 で割ると 3 余る数の最も小さい 2 桁の数は 13 です。そこから順に並べていくと

⑬, 14, 15, 16, 17, ⑱, 19, ......

 ○で囲んだ数字が 5 k + 3 の形になっている数字です。
 一方で N の平方数 N2 を 3 で割ったときの余りは

1, 1, 0, 1, 1, 0, ......

というように周期 3 をもち、

N が 3 で割り切れる ⇔ N2 が 3 で割り切れる

という関係にあります。よって 12 の平方を割ったときの余りは 0 で、13 の平方を割った時の余りは 1 となり、ちょうどそこから次の周期が始まることになります。

 18 が問題の条件をみたす最初の数です。
 そこから 3 × 5 = 15 の周期で現れる数を並べて

18, 33, 48, 63, 78, 93

が答えとなります。長々と書きましたけど、要は最初の数 18 を見つけて、3 と 5 の最小公倍数 15 を加えながら数を並べればそれで終わりです。

問題 01 の解答 B

 求める数を A = 5 k + 3 とおいて 2 乗すると、

  A2 = (5 k + 3)2 = 25 k2 + 30 k + 9 = 3 (8 k2 + 10 k + 3) + k2

 よって k2 が 3 で割り切れる必要があります。
 全ての自然数 N は 3 n, 3 n ± 1 で表され、2 乗すると

  (3 n)2 = 9 n2

  (3 n ± 1)2 = 3 (3 n2 ± 2 n) + 1

となって、 N2 が 3 で割り切れるのは N が 3 の倍数であるときだけです。
 そこで k = 3 t とおくと

A = 5 k + 3 = 15 t + 3 = 18, 33, 48, 63, 78, 93

となります。

 マークシート方式の試験では、もちろん解法 A をおすすめします!

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。