yy' = x exp[x^2+y^2](変数変換を繰り返します)

[問題 DE-04] 変数変換を繰り返します

 微分方程式 $yy '=x\,e^{x^2+y^2}$ を解いてください。

問題 DE-04 のヒント

 方程式を眺めていると、とりあえず、ある部分を別の変数で置き換えてみたくなりますね。それで変数分離はできるのですが、そのあとで、さらにもう1回変数変換して解きます。もしかすると他にもっと上手い解き方があるのかもしれないので、見つけたらコメントよろしくお願いします。

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問題 DE-04 の解答

 与えられた微分方程式
 
\[y\frac{dy}{dx}=xe^{x^2+y^2}\tag{A}\]
において $z=x^2+y^2$ とおくと $z '=2x+2yy '$ なので上の式は
 
\[\frac{dz}{dx}=(1+e^z)2x\]
となります。これは変数分離できて
 
\[\frac{dz}{1+e^z}=2xdx\]
 さらに $1+e^z=t$ とおくと $dz=e^{-z}dt$ なので
 
\[\frac{dt}{t(t-1)}=2xdx\]
 左辺の分数を分解すると
 
\[\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}=2xdx\]
 両辺を積分すると
 
\[\log\,\left|\frac{t-1}{t}\right|=x^2+c\]
 変数を $t$ から $z$ に戻すと

\[\log\,\left|\frac{e^z}{1+e^z}\right|=x^2+c\]
 $A=\pm e^c$ とおくと
 
\[\frac{e^z}{1+e^z}=Ae^{x^2}\]
 変数を $z$ から $x^2+y^2$ に戻すと
 
\[e^{x^2+y^2}=Ae^{x^2}(1+e^{x^2+y^2})\]
 式を整理すると
 
\[1=A(e^{-y^2}+e^{x^2})\]
 $B=1/A$ とおくと

\[e^{x^2}+e^{-y^2}=B\]
という解が得られます。 ≫ [問題05] 双曲線族に直交する曲線 ≫ 微分方程式演習

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