微分方程式 y' = x (1 - y) の解曲線を描きます

[問題 DE-01] y' = x(1 - y)

 微分方程式 $y '=x(1-y)$ を解いて、解曲線を図示してください。

問題 DE-01 のヒント

 変数分離で解く基本問題です。

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問題 DE-01 の解答

 与えられた微分方程式
 
\[\frac{dy}{dx}=x(1-y)\]
を変数分離すると
 
\[\frac{dy}{y-1}=-xdx\]
 両辺を積分すると
 
\[\log\mid y-1\mid=-\frac{1}{2}x^2+c\]
となります( c は積分定数)。$A=\pm e^c$ とおくと
 
\[y=1\pm A\exp\left( -\frac{x^2}{2}\right)\]
という解が得られます。$e^c\gt 0$ なので $A\neq 0$ ですが、与えられた微分方程式は $y=1$ という解をもち、これは上式で $A=0$ とした解に対応するので、改めて $A$ を任意の定数とすれば、上式は全ての解を含むことになります。$A$ の符号に応じて解曲線を図示すると次のようになります。

 excel微分方程式問題の解曲線

 $y=1$ は $A\gt 0$ の解グループと、$A\lt 0$ の解グループの境界線となります。

 ≫ [問題02] 変数分離型微分方程式 ≫ 微分方程式問題集

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