変数変換して線形方程式に帰着させます

[問題 DE-07] xy' - y + xexy3 = 0

 微分方程式 $xy'-y+xe^xy^3=0$ を解いてください。
 
 
 

問題 DE-07 のヒント

 非線形方程式ですが、上手く変数変換すると線形方程式に帰着できます。
 詳しくは ベルヌーイの微分方程式 の頁を参照してください。

≫ [Amazon 書籍] 非線形数学 Nonlinear Mathematics
[内容:極大単調作用素と作用素を含む非線形問題/KdV方程式/Lax形式/Ising模型/相転移と臨界現象の数理/スケーリングとくり込み群理論/分岐理論/ハミルトン力学系の可積分性/アトラクターの理論/界面現象の数理/パンルヴェ超越関数]

 

問題 DE-07 の解答

 与えられた方程式
 
\[xy'-y+xe^xy^3=0\tag{A}\]
の両辺を $y^3$ で割ります。
 
\[x\frac{y'}{y^3}-\frac{1}{y^2}+xe^x=0\]
 $(y-2)'=-2y'y^{-3}$ なので
 
\[\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{y^2}\right)=xe^x\]
 ここで $z=1/y^2$ とおくと
 
\[xz'+2z=2xe^x\tag{A1}\]
という方程式になります。右辺を 0 とおいた斉次方程式
 
\[xw'+2w=0\]
を変数分離すると
 
\[\frac{dw}{w}=-2\frac{dx}{x}\]
 両辺を積分すると
 
\[\log|w|=-\log x^2+c\]
 $A=\pm e^c$ とおくと
 
\[w=\frac{A}{x^2}\]
という斉次解を得ます。そこで $z=a(x)/x^2$ とおいて先ほどの
 
\[xz'+2z=2xe^x\tag{A1}\]
に代入すると $a(x)$ に関する方程式
 
\[a'(x)=2x^2e^x\]
が得られます。積分公式
 
\[\int f(x)e^xdx=\{f(x)-f'(x)+f''(x)-\cdots\}e^x\]
と用いて積分すると
 
\[a(x)=(2x^2-4x+4)e^x+c\]
となるので、
 
\[z=\frac{(2x^2-4x+4)e^x+c}{x^2}\]
となります。よって
 
\[y^2=\frac{x^2}{(2x^2-4x+4)e^x+c}\]
という一般解を得ます。  ≫ [問題08] 完全微分型方程式① ≫ 微分方程式演習

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