双曲線上の2本の接線と x 軸で囲まれる三角形の面積

[問題 CL-16] 双曲線上の2本の接線と x 軸で囲まれる三角形の面積

 曲線 \(y=1/|x|\) の2本の接線および x 軸とで囲まれる三角形の面積の最大値を求めてください。(東工大)
 
 

ヒント(2 変数の場合は ... )

 面積は 2 変数で表されますが、そういう場合に使える定石があります。

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問題 CL-16 の解答

 とりあえず絶対値を外して 1/|x| を2つの関数
 
\[f(x)=\frac{1}{x}\quad (x \gt 0),\quad g(x)=-\frac{1}{x}\quad (x \lt 0)\]
に分けてしまいましょう。それぞれ微分すると
 
\[f'(x)=-\frac{1}{x^2},\quad g'(x)=\frac{1}{x^2}\]
なので、y = f(x) 上の点 (s, 1/s) (s > 0) における接線の方程式は
 
\[y-\frac{1}{s}=-\frac{1}{s^2}\:(x-s)\]
と書くことができます。整理すると
 
\[s^2y=-x+2s \tag{1}\]
となります。同様に y = g(x) 上の点 (-t, 1/t) (t > 0) における接線の方程式( t を正に設定するのがポイントです)は
 
\[t^2y=x+2t \tag{2}\]
です。式 (1), (2) で y = 0 とおいて、x 軸との交点
 
\[(0,\:2s),\quad (0,\:-2t)\]
を得ます。また (1) + (2) から x を消去して
 
\[y=2\frac{s+t}{s^2+t^2}\]
となり、これが三角形の高さとなります。
 以上のことを図示すると次のようになっています。

 双曲線と三角形グラフ

 求める面積は
 
\[S=\frac{1}{2}\:(2s+2t)\:2\frac{s+t}{s^2+t^2}=2\frac{(s+t)^2}{s^2+t^2}\]
となります。分子を展開してみると
 
\[S=1+\frac{2st}{s^2+t^2}\]
です。これは s と t の2変数関数なので少し厄介に思えますが、相加・相乗平均の関係が使えないかと考えてみます。 s, t > 0 なので
 
\[st=\sqrt{s^2t^2} \leq \frac{s^2+t^2}{2} \]
がいえます。等号成立は s = t のときです。よって
 
\[\frac{2st}{s^2+t^2} \leq 1\]
が成り立つので、
 
\[S \leq 2(1+1)=4\]
となり、最大値は等号が成立する 4 となります。

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