当サイトではアフィリエイトプログラムを利用して商品を紹介しています。

広義積分とコーシーの主値積分

この記事では、区間内に不連続点がある場合の積分、あるいは無限区間における積分について解説します。

広義積分

不連続な関数の積分

関数 $f(x)$ が $a\lt x\leq b$ で連続であって、
 \[\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx\]
が存在するとき、$f(x)$ は $a\leq x\leq b$ で積分可能であるといい、
 \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx\]
と表します。同様に関数 $f(x)$ が $a\leq x\lt b$ で連続で
 \[\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx\]
が存在するとき、$f(x)$ は $a\leq x\leq b$ で積分可能であるといい、
 \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx\]
と表します。また $f(x)$ が区間 $[a,\:b]$ 内の 1 点 $c$ を除いて連続である場合は、
 \[\lim_{\varepsilon_1\rightarrow +0}\int_{a}^{c-\varepsilon_1}f(x)dx,\quad \lim_{\varepsilon_2\rightarrow +0}\int_{c+\varepsilon_2}^{b}f(x)dx\]
という極限値が存在する場合に限って、
 \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon_1\rightarrow +0}\int_{a}^{c-\varepsilon_1}f(x)dx+\lim_{\varepsilon_2\rightarrow +0}\int_{c+\varepsilon_2}^{b}f(x)dx\]
と定義します。

1/xの積分と1/√xの積分

関数 $y=1/x$ と $y=1/\sqrt{x}$ はともに $x=0$ で不連続となっています。$y=1/x$ については
 \[\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x}=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}[\:\log x\:]_{\varepsilon}^{1}=\infty\]
となって積分を定義することはできません。しかし $y=1/\sqrt{x}$ については
 \[\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}[\:2 \sqrt{x}\:]_{\varepsilon}^{1}=2\]
と有限値をもつので、
 \[\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\]
とすることができます。$y=1/x$ と $y=1/\sqrt{x}$ のグラフを描いてこの違いを直感的に把握してみます。
 

 
ともに $x\rightarrow 0$ で ∞ となる関数ですが、曲線と $x$ 軸および $x=1$ で囲まれる面積を求めると $y=1/x$ の場合は値が無限大になり、$y=1/\sqrt{x}$ のときはは有限値となります。その理由は $y=1/\sqrt{x}$ は $x\rightarrow 0$ となるときに、$y$ 軸との間隔を十分に細くしていくからです。つまり縦幅が非常に大きくなっても、横幅がそれを相殺するように狭くなっているので、実のところ原点付近の面積はほんの僅かしかないということです。

無限区間積分

関数 $f(x)$ が $x\geq a$ で連続であり
 \[\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
が存在するとき、
 \[\int_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
と定義します。また関数 $f(x)$ が $x\leq b$ で連続であって
 \[\lim_{a\rightarrow -\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
が存在するとき、
 \[\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
と定義します。さらに関数 $f(x)$ が全区間で連続であって
 \[\lim_{a\rightarrow -\infty}\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
が存在するとき、
 \[\int_{-\infty}^{-\infty}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty}\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
と定義します。

e^xを[-∞,0]で積分

次のような積分
 \[\int_{-\infty}^{0}e^xdx\]
を計算してみます。
 \[\lim_{a\rightarrow -\infty}\int_{a}^{0}e^xdx=\lim_{a\rightarrow -\infty}[\:e^x\:]_{a}^{0}=1\]
という極限値が存在しているので、
 \[\int_{-\infty}^{0}e^xdx=1\]
となります。

コーシーの主値積分

再び関数 $y=1/x$ について、今度は区間 $[-1,\:1]$ で考えてみます。
 

 
先ほどの広義積分の定義によると、
 \[\lim_{\varepsilon_1\rightarrow +0}\int_{-1}^{1-\varepsilon_1}\frac{1}{x}dx,\quad \lim_{\varepsilon_2\rightarrow +0}\int_{1+\varepsilon_2}^{1}\frac{1}{x}dx\]
はいずれも有限値をもたないので、
 \[\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx\]
を計算することはできません。しかし上のグラフを見ると直感的に「この積分は正の面積と負の面積がキャンセルしあって 0 になるはずでは?」と考える人も多いでしょう。そこで $\varepsilon_1=\varepsilon_2=\varepsilon$ として
 \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\left\{\int_{a}^{c-\varepsilon}f(x)dx+\int_{c+\varepsilon}^{b}f(x)dx\right\}\]
という極限で積分を定義します。この極限値のことを コーシーの主値積分 (Cauchy’s principal value of integral) とよびます。すると
 \[\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx\]
もコーシーの主値積分は存在します。実際に計算してみると
 \[\begin{align*}\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}&\left\{\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{1}{x}dx+\int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{x}dx\right\}\\[6pt]
&=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\{-(\log 1-\log\varepsilon)+(\log 1-\log\varepsilon)\}=0\end{align*}\]
となります。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください