逆三角関数 (Arcsinx, Arccosx, Arctanx) の定義と読み方

逆三角関数 Inverse trigonometric function

 逆三角関数 は三角関数の逆関数として定義されますが、そのままでは多価関数となってしまうので、1価関数 とするために定義域を半周期に制限した三角関数を改めて定めておきます。
 
\[\begin{align*}
y=&\mathrm{Sin}x \quad(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2})\\[8pt]
y=&\mathrm{Cos}x \quad(0 \leq x \leq \pi)\\[8pt]
y=&\mathrm{Tan}x \quad(-\frac{\pi}{2} \lt x \lt \frac{\pi}{2})\\[8pt]
y=&\mathrm{Csc}x \quad(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2})\\[8pt]
y=&\mathrm{Sec}x \quad(-0 \leq x \leq \pi)\\[8pt]
y=&\mathrm{Cot}x \quad(0 \lt x \lt \pi)\end{align*}\]
 普通の三角関数と区別するために先頭を大文字にしてあります。
 それぞれグラフを描くと次のようになります。

 定義域を制限した三角関数グラフ

 この関係を書き直して
 
\[\begin{align*}x=\mathrm{Arcsin}y, \quad x=\mathrm{Arccos}y, \quad x=\mathrm{Arctan}y\\[8pt]
x=\mathrm{Arccsc}y, \quad x=\mathrm{Arcsec}y, \quad x=\mathrm{Arccot}y\end{align*}\]
と記述します。x と y を入れ替えて逆三角関数の表式を得ます。
 
\[\begin{align*}y=&\mathrm{Arcsin}x \quad(-1 \leq x \leq 1)\\[8pt]
y=&\mathrm{Arccos}x \quad(-1 \leq x \leq 1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2})\\[8pt]
y=&\mathrm{Arctan}x \quad(-\infty \lt x \lt \infty, \quad -\frac{\pi}{2} \lt y \lt \frac{\pi}{2})\\[8pt]
y=&\mathrm{Arccsc}x \quad(x \leq -1,\: 1 \leq x, \quad -\frac{\pi}{2} \leq y \lt 0,\: 0 \lt y \leq \frac{\pi}{2})\\[8pt]
y=&\mathrm{Arcsec}x \quad(x \leq -1,\: 1 \leq x, \quad 0 \leq y \lt \frac{\pi}{2},\: \frac{\pi}{2} \lt y \leq 0)\\[8pt]
y=&\mathrm{Arccot}x \quad(-\infty \lt x \lt \infty, \quad 0 \lt y \lt \pi)\end{align*}\]
 逆三角関数の読み方は次の通りです。

  Arcsin:Arc-sine (アークサイン)
  Arccos:Arc-cosine (アークコサイン)
  Arctan:Arc-tangent (アークタンジェント)
  Arccsc:Arc-cosecant (アークコセカント)
  Arcsec:Arc-secant (アークセカント)
  Arccot:Arc-cotangent (アークコタンジェント)

 逆三角関数のグラフは次のようになります。

 逆三角関数のグラフ

逆三角関数同士の基本的な関係

 上図から逆三角関数同士の間には次のような関係があることがわかります(たとえば Arccosx は Arcsinx を上下反転させてπ/2 を加えるというように確認します)。
 
\[\begin{align*}&\mathrm{Arcsin}x+\mathrm{Arccos}x=\frac{\pi}{2}\\[8pt]
&\mathrm{Arctan}x+\mathrm{Arccot}x=\frac{\pi}{2}\\[8pt]
&\mathrm{Arcsec}x+\mathrm{Arccsc}x=\frac{\pi}{2}\end{align*}\]
 これは Arcsin と Arccos, Arctan と Arccot, Arcsec と Arccsc が互いに負号を掛けて定数を加減して得られることを示していて、本質的には同じ関数であることを示しています。また、 Arcsinx と Arccscx, Arccosx と Arcsecx は x ⇒ 1/x の変換によって結びついています。
 
\[\begin{align*}\mathrm{Arcsin}(1/x)=\mathrm{Arccsc}x\\[8pt]
\mathrm{Arccos}(1/x)=\mathrm{Arcsec}x\\[8pt]\end{align*}\]

正角と負角

 正角と負角に関しては次のような関係が成り立ちます。
 
\[\begin{align*}\mathrm{Arcsin}(-x)=&-\mathrm{Arcsin}x\\[8pt]
\mathrm{Arccos}(-x)=&\pi-\mathrm{Arccos}x\\[8pt]
\mathrm{Arctan}(-x)=&-\mathrm{Arctan}x\\[8pt]
\mathrm{Arccot}(-x)=&\pi-\mathrm{Arccot}x\\[8pt]
\mathrm{Arcsec}(-x)=&\pi-\mathrm{Arccsc}x\\[8pt]
\mathrm{Arccsc}(-x)=&-\mathrm{Arccsc}x\end{align*}\]

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