2次方程式の無理数解(2 乗して 2 になる数?)

 今回から2次方程式の講義が始まります。そろそろ本格的な数学になっていきますが、少しペースを落として、1つ1つの事例を丁寧に見ていきます。しばらくは

x2 = c (c ≧ 0)

という方程式を調べます。最も簡単なのは c = 0 のときで、このときは x = 0 というただ1つの解を持ちますが、これだけを唯一の例外として、c ≠ 0 の場合は必ず 2 つの解を持ちます。詳しくは以下の解説で。
 

正負の解をもちます

 次のような方程式を考えます。

x2 = 4

 これは「 2 乗して 4 になる数」ですから、2 という答えがすぐに頭に浮かぶと思いますが、実はもう1つ答えがあります。

(-2)2 = (-2)(-2) = 4

ですから、-2 もまた答えとなりますね。よって解は

x = ± 2

というように書きます。同じように x2 = 9 の解は x = ± 3 ですね。こうして右辺が平方数である場合はとても簡単なのですが、実は同じ形の方程式でも、すぐに厄介な問題が立ちはだかります。
 

無理数

 それは次のような方程式です。

x2 = 2   [*]

 「 2 乗して 2 になる数」を問われています。

12 = 1, 22 = 4

ですから、1 と 2 の間にある数だということだけは予測できます。
 そこで「 x = 1.5 ぐらいかな」と考えて 2 乗してみると

(1.5)2 = 2.25

です。ちょっと大きすぎました。 x = 1.4 としてみると

(1.4)2 = 1.96

 いい感じですね。もう少し微調整して x = 1.41 としてみましょう。

(1.41)2 = 1.9881

 惜しい! とまあ、こんな調子で値を近づけていけば、いずれはぴったりした見つかりそうなのですが、実はこの作業は永遠に終わりません。限りなく近づけていくことはできても、小数点以下は無限に値が続いてしまいます。途中まで書いてみると

1.414213562373

となります。この並び方に規則性はなく、またこの数を p / q のように分数の形に書くことさえもできません。このような厄介な数を 無理数 とよびます。こんな不規則に並ぶ小数を扱うのも面倒ですから、「とにかくも 2 乗して 2 になる数!」ということで、

x = √2

と書いてルート 2 、或いは 2 の 平方根 と呼びます。定義から明らかに

(√2)2 = 2

となります。-√2 も解ですから、まとめて [*] の解を

x = ± √2

と書きます。同じように x2 = 3 の解は x = ± √3 となり、 x2 = 5 の解は x = ± √5 となります。

問題 次の方程式を解いてください

(1) x2 = 25  (2) x2 = 144  (3) x2 = 19

問題の解答

(1) x = ± 5  (2) x = ± 12  (3) x = ± √19

 122 = 144, 132 = 169, 142 = 196, ......
 このあたりの平方数は覚えておくようにしてください。

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