√2 が無理数であることを証明します

[問題 AG-01] 無理数であることの証明

(1) n2 が偶数ならば n は偶数であることを証明してください。

(2) √2 が無理数であることを証明してください。

(3) 1 + √2 が無理数であることを証明してください。

問題 AG-01 のヒント

 おそらく数千年前から存在する有名な問題ですが、無理数の無理数たる所以(?)を証明法を知っておくことは大切なので、代数学問題集の第 1 問に採用しました。困ったときの「あの証明法」を使います。(1) は (2) の準備問題で、おまけのようなものです。つまり (2) では (1) で証明したことを使えるような展開に持ち込めばよいのですが、それを知ってもやっぱり (2) は難しいです。(2) が解けたら、(3) は易しい問題です。

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問題 AG-01 の解答

(1) そのままでは証明しにくいので、与えられた命題

n2 が偶数ならば n は偶数である

の対偶をとって

n が奇数ならば n2 は奇数である

を証明します。これは簡単です。n = 2 k + 1 とおくと

n2 = (2 k + 1)2 = 4 k (k + 1) + 1

ですから、 n2 も奇数となっています。よって、もとの命題も真です。(証明終わり)

(2) 背理法で証明します。つまり √2 を有理数だと仮定するのです。有理数であることの定義は、互いに素である(最大公約数が 1 である)数 p, q によって

√2 = q / p

という形に書けるということです。両辺を 2 乗して整理すると、

2 p2 = q2

ですから、 q2 は偶数です。(1) で証明したように q もまた偶数となるので q = 2 m とおくと

p2 = 2 m2

という式が得られます。ですから p も偶数ということになります。しかしそうすると、p と q の最大公約数が 2 となって、互いに素であるという仮定に反します。よってこの仮定自体が誤りであり、 √2 は無理数だということになります。(証明終わり)

(3) これも背理法で証明します。

1 + √2 = α

とおいて、α が有理数であると仮定します。 1 を右辺に移項して

√2 = α - 1

とすると、右辺は有理数の差ですから有理数となっているはずです。しかし左辺は (2) で無理数だと示されているのですから、これは明らかに矛盾しています。ゆえに 1 + √2 は無理数です。(証明終わり)

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BlogCat のつぶやき

 こういう問題も慣れていれば簡単ですが、初めて見た人にとっては相当な難問です。この問題に初めて出会うのは、おそらく高校に入学したばかりの頃ではないでしょうか。この頃にはまだ「無理数とは何か?」という定義もまだしっかり定着していないかもしれません。この手の証明にもまだ慣れていないと思います。なので解けなくても気にすることもありません(逆に言えば、もし初見で解けたら素晴らしい数学センスをもっているということです)。解ける人(の大部分)は解法を知っているから解けるというだけです。私も高校生の頃、この問題を初めて見たときは、鉛筆で白紙をつつくだけで終わりましたよ。

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