ジャングルジム (3 次元格子) の道順

[問題 PS-09] ジャングルジムの道順

 下の図のような $3$ 次元直交座標において、原点 $O$ から点 $X(1,\;1,\;1)$ を通らずに点 $A(2,\;2,\;2)$ へ最短距離で行く道順は何通りありますか。

 ジャングルジム(3 次元格子)
 

ヒント(X を通らずにということは ...... )

 道順の典型問題です。点 $X$ が通行止めになっています。
 余事象を考えると簡単です。 ≫ 道順についてはこちらを参照してください
 

解答 PS-09

 まず原点 $O$ から点 $A$ まで行く道順の総数を求めます。上 ($z$ 方向) への移動を $a$ , 右 ($x$ 方向) への移動を $b$ , 奥 ($y$ 方向) への移動を $c$ で表すと、$A$ までの道順の個数は
 
\[a\,a\,b\,b\,c\,c\]
を並び替える方法の数に等しくなります。その数は全部で
 
\[\frac{6!}{2!2!2!}=90\;通り\]
となります。また、$O$ から $X$ まで行く道順は $a\,b\,c$ の並び替え方に等しいので $3!=6$ 通り、$X$ から $A$ まで行く道順も同様に $6$ 通りです。すなわち「$O$ から $X$ を通って $A$ へ行く方法」は
 
\[6\times 6=36\;通り\]
あります。「$X$ を通らずに $A$ へ行く方法」は、「$O$ から $A$ まで行く道順の総数」から「$O$ から $X$ を経由して $A$ へ行く方法の数」を引けばよいので、答えは
 
\[90-36=54\;通り\]
となります。 ≫ [問題10] 整数解と自然数解の個数 ≫ 確率統計演習問題

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