他の解の平方となるように実数 k の値を定めます

[問題 AG-16] 他の解の平方となるように実数 k の値を定めます

 2次方程式

\[x^2+kx-k=0 \quad (k\neq0)\]の1つの解が他の解の平方になるように実数 \(k\) の値を定めてください。

問題 AG-16 のヒント

 2つの解を設定したあとに、そのまま方程式に代入したりすると大変面倒なことになります。別の方法を考えてみましょう。

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[内容:複雑性の科学/2次元相空間散逸系/惑星と宇宙における複雑性/マスター方程式/摂動級数展開/アトラクター/カオス/自己組織化現象の原型/フラクタル/散逸構造理論]

問題 AG-16 の解答

 2解を \(\alpha,\:\alpha^2\) とおくと解と係数の関係より
 
\[\alpha+\alpha^2=-k,\quad \alpha^3=-k\]
となるので、
 
\[\alpha+\alpha^2=\alpha^3\]
とおくことができます。すなわち
 
\[\alpha(\alpha^2-\alpha-1)=0\]
という \(\alpha\) についての方程式を解けばよいのですが、 \(k\neq0\) という条件があるので \(\alpha=0\) は適しません。よって
 
\[\alpha^2-\alpha-1=0\]
の2解である
 
\[\alpha=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\]
が条件を満たすことになります。よって
 
\[k=-\alpha-\alpha^2\]
によって求めることができますが、\(\alpha^2-\alpha-1=0\) の関係を使うことで
 
\[k=-\alpha-\alpha-1=-2\alpha-1=-2\pm\sqrt{5}\]
と楽に計算することができます。 ≫ [問題17] 2 解の比が 1:2 ≫ 数学演習問題

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