九九の数字を全て足し合わせてみましょう

 今回は九九の表にある数字を全て足してみます。
 いくらなんでも 1 マスずつ全部足していたら大変です。
 もう少し上手い計算法がないか考えてみましょう。

 九九表

 とりあえず 1 列目が簡単そうなので書き出してみます。

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

 これぐらいなら順番に足しても大したことはなさそうですが、「もっと怠けて楽ができないかな?」とぎりぎりまで横着を追及するのが数学を上達させるコツです。頑張り屋さんは、もっと面倒くさがりにならないといけません。上の足し算で頭と末尾の数字に注目してください。 1 と 9 ですね。これを足すと 10 です。では次に 2 と 8 を足します。これも 10 となります。こういうペアを作った順に書き直して

(1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5

 最後に 5 が余ってしまいましたけど、ペアとなる相手がいないので仕方ありません。上の式は 10 が 4 つと 5 が 1 つですから、

10 × 4 + 5 = 45

と計算できますね。これで 1 列目が計算できました。「よーし。じゃあ 2 列目も同じように計算するぞ」という人は、まだまだ真面目すぎます。可能な限り面倒を避けて横着をする。これが数学の基本姿勢だということをお忘れなく。もう 1 度、九九の表を見てみましょう。

 九九表②

 2 列目の各数字は全て、左隣にある 1 列目の数字の 2 倍になっていますね。
 ということは、足し合わせた数字も 1 列目の 2 倍になっているはずですから、

45 × 2

を計算すればいいのです。「なるほど! それなら次は 3 列目、4 列目を次々と計算して最後に足し合わせれば答えが出るぞ」とか思った人は「面倒くさがり道場」で修業してきてくださいな。全てのマス目の数の和 S を表すと

S = 45 × 1 + 45 × 2 + 45 × 3 + …… + 45 × 9

のように書けるはずです。「 …… 」は「こんな感じで続きますよ」という記号です。数学ではこういう記号も上手く使って労力を惜しみます。上の式は (  ) を使って次のように書くことができますね。

S = 45 × (1 + 2 + 3 + …… + 9)

 よく見てください。 (  ) は先ほど計算した 1 列目の足し算と同じですから、

S = 45 × 45 = 2025

が答えになります。このように算数や数学では、がむしゃらに計算して答えを出すことではなく、いかに上手く労力を節約して答えに辿り着いたか、という過程がとても大切なのです。

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