ルジャンドル予想 2 つの平方数の間には必ず素数が存在します

 数学未解決問題コーナーです。今回は ルジャンドル予想 (Legendre's conjecture) を紹介しますが、そのまえにまず 素数砂漠 について簡単に触れておきます。
 

素数砂漠

 自然数を並べて、その中にどのくらいの素数があるのかという問題は、最先端の数学でも解き明かせていません。あるところに素数がぱらぱらと現れているかと思うと、素数がずーっと存在しない区間があったりもします。たとえば 114 から 126 の数は 13 連続で合成数です。

 このような素数の存在しない「素数砂漠」の長さに限りがないことは簡単に証明できます。たとえば n ≧ 2 の連続する n − 1 個の自然数

n! + 2, n! + 3, ..., n! + n

を考えてみます。 n! = n・(n-1) ・・・ 3・2・1 ですから、それそれ 2, 3, ..., n で必ず割り切れます。つまり合成数です。この n は任意ですから、いくらでも大きい数を当てはめることができます。つまり、いくらでも大きな「素数砂漠」があるということです。
 

ルジャンドル予想

 そうは言っても「この中には必ず1つは素数がある」という区間の長さを知りたいと願うのは人情(?)というものですよね。フランスの数学者アドリアン=マリ・ルジャンドルは

 n2 と (n + 1)2 の間には必ず素数が存在する!

と予想しました。これが ルジャンドル予想 (Legendre's conjecture) です。もうちょっと簡単に言い換えると、

 2 つの平方数の間には必ず素数が存在する!

ということですね。小さい数で試してみましょう。

 区間 [1, 4] には 2, 3
 区間 [4, 9] には 5, 7
 区間 [9, 16] には 11, 13
 区間 [16, 25] には 17, 19, 23
 ・・・・・・・・・・・・・・・

 うーむ、なるほど。1 つどころか 2 つも 3 つもありますよ。確かに、この予想は正しそうですね( ← まだちょっとしか調べてないのに適当なことを言っている)。 114 から 126 は素数砂漠だと言いましたけど、矛盾していないか調べてみましょう。区間 [100, 121] には

101, 103, 107, 109, 113

と 4 つも素数が存在しています。また [121, 169] にも

127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163

と 8 個も素数が並んでいて、ルジャンドル予想に一致していますが、 [114, 126] は [100, 121] と [121, 169] にまたがる区間です。ここには素数が存在していませんが、予想と矛盾しているわけではありません。いずれにしても、この予想についての反例は 1 つも見つかっていないので、「おそらく正しいのだろう」と思われているのです。

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コメント

  1. カズキ より:

    はじめまして、ルジャンドル予想の証明と双子素数が無限に存在する事の証明をYouTubeにあげているのですが、見て検証して頂けないでしょうか?

    突然で失礼とは思いますが、素数に興味がある方なら解って頂けると思います。

    失礼しました。

    • Blog Cat より:

       コメントありがとうございます。ルジャンドル予想の動画を少しずつ見ています。冒頭で気になったことを1つ。間違いというわけではないのですが、エラトステネスのふるいについては、マス目で説明するよりも数式で簡潔に表したほうが分かりやすいと思います。素数を小さいほうから順に

       P1, P2, P3, …, Px, …

      とおくと任意の自然数は

       N = [(P1)^a] [(P2)^b] [(P3)^c] ・・・ [(Px)^k] ・・・

      のように表すことができます。

       a = 1, b = c = ・・・ = 0

      として P1 = 2 を残したあとは、P1 のべき乗についてはばっさり切り落として

       N’ = [(P2)^b] [(P3)^c] ・・・ [(Px)^k] ・・・

      とすれば、 2 の倍数を含まない自然数を表す表式となります。このとき最初に落とされる数は

       a = 2, b = c = ・・・ = 0

      となっているはずです。これを繰り返していくと Px の倍数が消えるのは (Px)^2 からということが明白です。

       今、少しずつ検証作業を進めている途中ですが、どう考えても私では力不足だと思います。それに動画では情報を得る速度が遅くなってしまうので、検証にかなりの時間を要してしまいます。ですからブログかサイトを開設して、カズキさんの証明を載せてみてはどうでしょう。そうしたほうが多くの人が検証に参加しやすくなると思います。ぜひ一度ご検討ください。

      • カズキ より:

        ご丁寧にありがとうございます。
        検討してみます。
        ありがとうございました。

        • カズキ より:

          ちなみに
          私が考えた素数の公式です。

          P =2a+1
          a≠2xy+x+y 
          (x、y、aは自然数)

          ちなみに双子素数は

          (Px、Py)=6A±1
          A≠6xy±x±y
          (x、y、Aは自然数)
          

          • Blog Cat より:

             プログラムを組んで1つめの公式をある程度の数値まで調べてみましたが、今のところ反例は見つからず、確かにこの公式は正しいように思えます。カズキさんはこの公式をどのように証明されたのでしょうか?

  2. カズキ より:

    検証ありがとうございます。
    素数の公式と書きましたが、3以上の素数、つまり奇素数の公式になってます。

    奇数の素数でないところは奇素数同士の合成数ですので、

    (2x+1)(2y+1)
    =4xy+2x+2y+1
    =2(2xy+x+y)+1

    奇素数は2X+1上に存在するので、
    2xy+x+yで表せない自然数をXに代入したところになってます。

    大したことあるのか、ないのかわかりませんが。

  3. カズキ より:

    奇素数同士と書きましたが、奇数同士の間違いです。
    (2x+1)(2y+1)で表せない1より大きな奇数、と同じ意味なので、
    公式と呼べるかは疑問です。

    • Blog Cat より:

       個人的には有用な公式であると思います。というのは、コンピュータで素数を生成するアルゴリズムがとても簡単になるからです。従来の方法ですと、ある数が素数であることを判定するには、いくつかの素数で試しに割ってみる必要があります。アルゴリズムも改良が重ねられているので、すべての素数で割る必要はなくなっていますが、いずれにしても何回かの割り算はどうしても必要なのです。しかしカズキさんの公式を使ってアルゴリズムを作ってみると、

       3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ……

      という奇数の数列を作ってから、

       N = 2(2xy + x + y) + 1

      という数を数列から取り去ってしまえば素数だけが残ります。従来の方法に比べると条件分枝さえ必要なく、処理速度もこちらのほうが速いのではないかと思っています。

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