極限の基礎計算(極限が 0 になる項を作るのがコツです)

[問題 CL-02] 極限の基礎計算

 次の極限を求めてください。

(1) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{1+x^2}\)  (2) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x}{1+x}\)  (3) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\sin \frac{1}{x}\)

(4) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{e^x+1}\)  (5) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \log x\)

問題 CL-02 のヒント

 極限の計算の基本問題です。
 分子・分母を割って、極限が 0 になる項を作るのがコツです。

 ≫ [Amazon 数学書籍] 「超」入門 微分積分
 ≫ [Amazon 数学書籍] 常微分方程式 (技術者のための高等数学)

問題 CL-02 の解答

(1) 分子が1次で分母が2次関数ですから、直感的に極限が 0 になることがわかるかもしれませんが、(減点されない)解答としては丁寧に分子・分母を x で割って
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{1+x^2}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{1/x+x}=0\]としておきましょう。
 
(2) x → ∞ では定数項の 1 は無視できるので、これも直感的に 1 になることがわかりますが、やはり解答は丁寧に分子・分母を x で割って
\[\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x}{1+x}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{1/x+1}\]
 
(3) x → ∞ で 1/x → 0 なので、
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}\sin \frac{1}{x}=0\]
 
(4) 分子・分母を ex で割ります。
\[\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{e^x+1}=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{1}{1+0}=1\]
 
(5) y = logx のグラフの形から明らかに
\[\lim_{x\rightarrow +\infty} \log x=\infty\]となります。 ≫ [問題03] 不定形の極限値 ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください