三角関数の極限値(単位円と 2 つの三角形から導きます)

三角関数の極限値
Limit value of trigonometric function

 三角関数の極限値については次のような公式が知られています。

\[\begin{align*}&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{sin}x}{x}=1 \tag{1}\\
&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{tan}x}{x}=1\tag{2}\\
&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\mathrm{cos}x}{x^2}=\frac{1}{2} \tag{3}\\
&\lim_{x\rightarrow 0}x\: \mathrm{sin}\frac{1}{x}=0 \tag{4}\\
&\lim_{x\rightarrow \infty }x\: \mathrm{sin}\frac{1}{x}=1 \tag{5}\end{align*}\] 特に (1) は sinx の導関数を求めるために必要な最重要公式ですので、必ず憶えておくようにしてください。 (2) から (5) はすべて (1) から導くことができます。

証明

(1) f(x)=sinx/x とおくと、f(-x) = f(x) 、すなわち f(x) は偶関数ですから、x が正の場合について証明すればよいことになります。最終的には x → 0 の極限を考えるので、 0 < x < π/2 となります。

 三角関数の極限値

 図のように単位円と 2 つの三角形を描きます。

△ OAB < 扇形 OAB < △ OAC

という大小関係があります。ここで角度θ、半径 r の扇形の面積は

\[\frac{1}{2}r^2\theta\]ですから、

\[\frac{1}{2}\mathrm{sin}x< \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\mathrm{tan}x\]が成り立ちます。 1/2 を払って sinx で割ると

\[1< \frac{x}{\mathrm{sin}x} < \frac{1}{\mathrm{cos}x}\]逆数をとると不等号の向きが変わります。

\[1< \frac{\mathrm{sin}x}{x}< \mathrm{cos}x\] x → + 0 のとき cosx → 1 ですから

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{sin}x}{x}=1\]となります。

(2) の証明
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{tan}x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\mathrm{cos}x}\frac{\mathrm{sin}x}{x}=1\]

(3) の証明
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\mathrm{cos}x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\mathrm{cos}^2x}{x^2(1+\mathrm{cos}x)}=\frac{1}{2}\]

(4) の証明
\[0\leq \left | \mathrm{sin}\: \frac{1}{x} \right |\leq 1\\
0\leq \left | x\: \mathrm{sin}\: \frac{1}{x} \right |\leq |x|\\
\therefore \lim_{x\rightarrow 0}x\: \mathrm{sin}\: \frac{1}{x}=0\]

(5) 1/x = t とおくと、x → ∞ のとき t → 0 となるので
\[\lim_{x\rightarrow \infty }x\: \mathrm{sin}\: \frac{1}{x}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\mathrm{sin}t}{t}=1\]

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