1階線形常微分方程式の解法(定数変化法と代入法)

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1階線形微分方程式
 Linear differential equation of the first order

 次のようなタイプの微分方程式

\[\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)=0\tag{A}\]

1階線形常微分方程式 といいます。この方程式を解くためには、まず $q(x)=0$ とおいた 斉次方程式 (homogeneous equation) の解 (斉次解:homogeneous solution) を求める必要があります。

斉次方程式の解(斉次解)

 $q(x)=0$ とおいて、
 (一般解との混同を避けるために)$y$ の代わりに $z$ を用いると (A) は
 
\[\frac{dz}{dx}+p(x)y=0\tag{A1}\]
となります。これは変数分離できて
 
\[\frac{dz}{z}=-p(x)dx\]
 両辺を積分して $\pm e^c=A$ とおくと
 
\[z=A\exp\left(-\int p(x)dx\right)\]
という解が得られます。

非斉次方程式の解(一般解)

 (A) において $q(x)\neq 0$ である場合を 非斉次方程式 (non-homogeneous equation) とよびます。この方程式は次のような手順で解きます。非斉次方程式
 
\[\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)=0\tag{A}\]
の一般解が、斉次解 $z(x)$ の定数 $A$ を $x$ の関数 $a(x)$ で置き換えた

\[y=a(x)z(x),\quad z(x)=\exp\left(-\int p(x)dx\right)\tag{A2}\]

のような形に書けると仮定します。これを定数変化法 (variation of parameters) とよびます。両辺を微分すると
 
\[y'=a'z+az'=a'z-apz\]
 $az=y$ なので
 
\[y'=a'z-py\]
 $y'+py=-q$ なので
 
\[a'z=-q\]
 すなわち $a(x)$ に関する微分方程式
 
\[\frac{da(x)}{dx}=-\frac{q(x)}{z(x)}\]
を得ます。積分すると
 
\[a(x)=-\int\frac{q(x)}{z(x)}dx\]
 積分定数を分離して
 
\[a(x)=-\int^{x}\frac{q(x)}{z(x)}dx+c\]
 よって微分方程式 (A) の一般解

\[\begin{align*}y&=a(x)z(x)=cz(x)-z(x)\int^{x}\frac{q(x)}{z(x)}dx\\[6pt]
z(x)&=\exp\left(-\int p(x)dx\right)\end{align*}\tag{A3}\]

が得られます。$y$ の第1項は斉次解です。これを余関数 (complementary function) とよぶこともあります。第2項は非斉次方程式の特解 (particular solution) といいます。すなわち1階線形微分方程式の解は

斉次解 + 特解

という形で与えられます。実際に解く際には (A3) の形を覚えている必要はなく(もちろん覚えていたほうが早いです)、上でやったように

① $q(x)=0$ とおいて斉次解 $z$ を求める。
② $y=a(x)z(x)$ とおいて微分して $a(x)$ を求める。

という手順を踏みます。それでは実例で試してみましょう。

1階線形微分方程式の解法例

 次のような1階線形微分方程式
 
\[\frac{dy}{dx}+xy=x^3\tag{B}\]
を解いてみます。これは (A) で $p(x)=x,\:q(x)=x^3$ としたものです。まず $q(x)=0$ として
 
\[\frac{dz}{dx}=-xz\]
を解きます。変数分離すると
 
\[\int\frac{dz}{z}=-\int xdx\]
 両辺を微分して $\pm e^c=A$ とおくと
 
\[z=A\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\]
という斉次解を得ます。そこで (B) の一般解を
 
\[y=a(x)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\]
とおいて微分すると
 
\[\begin{align*}y'&=a'(x)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)-xa(x)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\\[6pt]
&=a'(x)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)-xy\end{align*}\]
 $y'+xy=x^3$ なので

\[a'(x)=x^3\exp\left(\frac{x^2}{2}\right)\]
 積分すると
 
\[a(x)=(x^2-2)\exp\left(\frac{x^2}{2}\right)+C\]
 したがって一般解は
 
\[y=C\exp\left(\frac{x^2}{2}\right)+x^2-2\]
となります。

解の重ね合わせ

 関数 $y_1,\:y_2$ がそれぞれ
 
\[\begin{align*}&y_1'+p(x)y_1=r_1(x)\\[6pt]
&y_2'+p(x)y_2=r_2(x)\end{align*}\]
と満たしているとします。両辺を加え合せると
 
\[y_1'+y_2'+p(x)(y_1+y_2)=r_1(x)+r_2(x)\]
となるので $y=y_1+y_2$ は微分方程式
 
\[y'+p(x)y=r_1(x)+r_2(x)\]
の特解となっています。

代入法

 特解の形が予想できる場合に限って、代入法で微分方程式を解くこともできます。
 たとえば次のような微分方程式
 
\[y'+y=x+e^x\tag{C}\]
を代入法で解いてみます。まず右辺 = 0 とおいて斉次方程式
 
\[y'+y=0\]
を解くと $y=Ae^{-x}$ が得られます。解の重ね合わせにより (C) の特解は
 
\[\begin{align*}y_1'+y_1&=x\qquad (1)\\[6pt]
y_2'+y_2&=e^x\qquad (2)\end{align*}\]
という2つの微分方程式の解を足し合わせたものとなります。(1) において、
 
\[y_1=ax+b\]
という形の解になっていると予想します(慣れると感覚的にわかるようになりますし、ダメなら別の形でやり直せばいいのです)。実際に方程式に代入してみると
 
\[(a-1)x+a+b=0\]
という式が得られるので、係数を比較すると $a=1,\:b=-1$ となり、方程式 (1) の特解は
 
\[y_1=x-1\]
であることがわかります。(2) については
 
\[y_2=Be^x\]
という形の解を予想して代入してみると
 
\[2Be^x=e^x\]
となるので $B=1/2$ と定まり、
 
\[y_2=\frac{1}{2}e^x\]
であることがわかります。よって
 
\[y'+y=x+e^x\tag{C}\]
の特解は
 
\[y=y_1+y_2=\frac{1}{2}e^x+x-1\]
であり、これに斉次解 $y=Ae^{-x}$ を加えると
 
\[y=Ae^{-x}+\frac{1}{2}e^x+x-1\]
となります。 ≫ 数学事典 ≫ 微分方程式演習問題

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