【Excel】対数・常用対数・自然対数(LOG,LOG10,LN)

【Excel】対数計算

対数関数（logarithm）は指数関数の逆関数として定義され、
 \[y=\log_a{x}\]
のように書き表します。このとき、$x$ と $y$ は
 \[x=a^y\]
の関係を満たします。$a$ を「底」とよびます。少しわかりにくいかもしれませんが、「$a$ を何乗したら $x$ になるか」を考えると、$y$ を計算できます。具体例で考えてみましょう。$a=2,\ x=8$ とすると、
 \[y=\log_{2}8\]
と表せます。指数関数の形に書き直すと、
 \[8=2^y\]
となります。「$2$ を何乗したら $8$ になるか」を考えると、$y=3$ であることがわかります ($2^3=8$)。

特に底 $a$ を $10$ とする
 \[y=\log_{10}x\]
を常用対数 (common logarithm) 、底 $a$ を ネイピア数 $e$ とする
 \[y=\log_e x\]
を自然対数 (natural logarithm) とよびます。ネイピア数 $e$ は
 \[e=2.7182818\cdots\]
という無理数です。Excel の EXP関数を用いて

=EXP(1)

と入力すると、ネイピア数の 15 桁までの値を知ることができます。

エクセルには対数を計算するために、LOG, LN, LOG10 が用意されています。それぞれ「ログ」、「ログナチュラル」、「ログテン」と読みます。LOG 関数を使って、$\log_3 100$ を計算してみましょう。LOG 関数の引数は (真数, 底) の順に指定します。適当なセルに

=LOG(100,3)

を入力すると「4.191806549」を返します。

【Excel】LOG

Excel の LOG 関数は第２引数を底とする第１引数の対数の値を計算します。

=LOG(数値, 底)

数値、底ともに正の値を指定します。たとえば

=LOG(8,2)

と入力すると $\log_2 8$ を計算して「3」を返します。

【Excel】LOG10

Excel の LOG10 は $10$ を底とする常用対数の値を計算します。

=LOG(数値)

引数に 0 または負の値を指定すると「#NUM!」エラーが返ります。たとえば

=LOG10(10)

と入力すると $\log_{10} 10$ を計算して「1」を返します。

【Excel】LN

Excel の LN は指定した数値の自然対数の値を計算します。

=LN(数値)

たとえば

=LN(10)

と入力すると $\log_e 10$ を計算して「2.302 …」を返します。$e$ のべき乗を計算する EXP関数を用いて

=LN(EXP(1))

と入力すると $\log_e e$ を計算して「1」を得ます。引数に 0 または負の値を指定するとエラーとなります。

他にも Excel には複素数の対数を計算するために、IMLN, IMLOG10, IMLOG2 が用意されています。これらの関数を使う機会はあまりないかもしれませんが、一応載せておきます。

【Excel】IMLN

IMLN 関数は渡した引数の自然対数を計算します。

=IMLN(複素数)

たとえば、複素数 $1+i$ の自然対数 $\log_e(1+i)$ を計算するときは、

=IMLN("1+i")

と入力します（複素数は文字列形式で渡すことに注意してください）。実数も複素数に含まれるので、IMLN に普通の数値を渡しても構いません。たとえば、

=IMLN(3)

と入力すると、$\log_e 3$ を計算して「1.0986 …」が返ります。

【Excel】IMLOG10

IMLOG10 は受け取った複素数の常用対数を計算します。

=IMLOG10(複素数)

たとえば、複素数 $5+19i$ の常用対数 $\log_{10}(5+19i)$ を計算したい場合、

=IMLOG10("5+19i")

と記述します。整数や有理数の常用対数を IMLOG10 で計算することもできます。たとえば、

=IMLOG10(100)

と入力すると、$\log_{10}100$ を計算して「2」を返します。

【Excel】IMLOG2

IMLOG2 は複素数の二進対数を計算します。

=IMLOG2(複素数)

たとえば、複素数 $7+2i$ の二進対数を計算するときは、

=IMLOG2("7+2i")

と記述します。数値を IMLOG2 に渡して二進対数を計算することもできます。たとえば、

=IMLOG2(512)

と入力すると、$512$ の二進対数 $\log_{2}512$ を計算して「9」を返します。