係数に複素数を含みます(虚数の平方根は?)

[問題 AG-15] 係数に複素数を含みます

 次の2次方程式

\[x^2-(1+3\:i)\:x+k=0\]が \(1+i\) を解にもつように定数 \(k\) の値を定め、もう1つの解を求めてください。

問題 AG-15 のヒント

 解の1つがわかっているので、それを代入すれば良いのですけど、 \(k\) をどう置くかがポイントです。

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問題 AG-15 の解答

 \(k\) は実数とは書いていないので、複素数として
 
\[k=a+bi\]
とおいて方程式に代入します。
 
\[x^2-(1+3i)x+a+bi=0\]
 解の1つ \(1+i\) を代入して整理すると
 
\[a+2+(b-2)\:i=0\]
となるので、 \(a=-2,\:b=2\) すなわち \(k=-2+2\:i\) を得ます。よって方程式は
 
\[x^2-(1+3i)x-2+2\:i=0\]
となり、解の公式によって
 
\[x=\frac{1}{2}\: \{ 1+3\:i \pm \sqrt{-2\:i} \}\]
となります。ここで \((1-i)^2=-2\:i\) より解は
 
\[x=1+i,\quad 2\:i\]
となります。

補足 虚数の平方根

 最後のほうで √ の中に虚数単位が現れたので、慣れていないと処理に困るかもしれません。 \((1-i)^2=-2\:i\) という計算式をすぐに思いつかない場合は、\(1+i\) という1つの解が予めわかっているので、\(\sqrt{-2\:i}=\sqrt{D}\) とおいて、

\[\frac{1}{2}\: \{ 1+3\:i \pm \sqrt{D} \}=1+i\]
という式から

\[\sqrt{D}=\pm (1-i)\]
を得ることができます。

 ≫ [問題16] 1 つの解が他の解の平方となっています ≫ 数学演習問題

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