平均の不等式

[問題 AG-12] 平均の不等式

 0 以上の整数 a, b, c, d について
 
\[\frac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[4\:]{abcd}\]
が成り立つことを証明してください。

問題 AG-12 のヒント

 2 つの数 a, b について成り立つ相加平均と相乗平均の関係を使って証明します。

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問題 AG-12 の解答

 相加平均と相乗平均の関係式より、
 
\[\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab},\quad \frac{c+d}{2}\geq\sqrt{cd}\]
が成り立ちます。等号は \(a=b,\quad c=d\) のときに成立します。辺々を加えると
 
\[\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\geq\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\]
となりますが、右辺にまた相加・相乗平均の式を適用すると
 
\[\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\geq 2\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}=2\sqrt[4]{abcd}\]
となります(等号は \(ab=cd\) のときに成立)。したがって
 
\[\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\geq 2\sqrt[4]{abcd}\]
 両辺を 2 で割ると
 
\[\frac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd}\]
が成り立つことが示されました。等号は

\(a=b\) かつ \(c=d\) かつ \(ab=cd\)

のとき、すなわち \(a=b=c=d\) のときに成立します。

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