Excel でメルセンヌ素数の桁を求めます

[EX-06] メルセンヌ素数の桁を求めます

 $2^n-1$ の形をした素数を メルセンヌ素数 (Mersenne number) とよびます。
 29 番目のメルセンヌ素数 $2^{110503}-1$ の桁数を求めてください。

問題 EX-06 のヒント(問われているのは桁数です)

 指数計算の演算子を使って「 =2^110503 」などとしてしまうとエラーが表示されてしまいます。 Excel で扱える数字の桁の限界を超えているからです。問われているのはあくまで 桁数 です。ちなみに、この 29 番目のメルセンヌ素数はウォルター・コルキットとルーク・ウェルシュという人物によって発見されたそうです。

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解答 EX-05(常用対数をとります)

 $-1$ は桁に関係がないので無視して、
 
\[10^x=2^{110503}\]
とおきます($x$ の整数部に 1 を加えた値が桁数です)。両辺の常用対数をとると
 
\[x=\log_{10}2^{110503}=110503\log_{10}2\]
となります。Excel には常用対数を計算する LOG10 という関数が用意されているので、セルに

=110503*LOG10(2)

と入力すると 33264.71761 という値が得られます。よって答えは 33265 桁 となります。あるいは底を指定して対数を計算する LOG関数を使って

=110503*LOG(2,10)

としても同じ値を得ることができます。

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