貴金属数(黄金数、白銀数、青銅数)

[問題 AG-26] 貴金属数

 2次方程式 \(x^2-nx-1=0\) の解 \(x_n\) を第 n 貴金属数とよびます。

(1) n = 1 (黄金数)、n = 2 (白銀数)、n = 3 (青銅数) を求めてください。

(2) \(x_n-1/x_n=n\) となることを示してください。

問題 AG-26 のヒント

 前回の問題 (AG-27) をより一般化した貴金属数 (metallic number) に関する問題です。とてもやさしい問題ですので気楽に解いてみてください。

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[内容:大田区にある大橋製作所は伝統的職人技術を継承するメタル事業部と、ハイテク機器を開発する機器事業部によって構成される企業です。大橋製作所はアナログとデジタル技術を組合わせて『数楽アート』という製品を作り上げました。そのデザインの背景には美しい「補助線」が潜んでいます。日本は古来からモノづくりと数学、芸術を巧みに融合させて華道、俳句、建築などの文化を発展させてきました。その数学文化は現代の町職人にも引き継がれて新たなるモノを生みだし続けているのです]

問題 AG-26 の解答

(1) 解の公式を使って \(x^2-nx-1=0\) を解くと
 
\[x_n=\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\]
となるので、 n = 1, 2, 3 を入れると
 
\[\begin{align*}x_1=&\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\[6pt]
x_2=&1+\sqrt{2}\\[6pt]
x_3=&\frac{3+\sqrt{13}}{2}\end{align*}\]
となります。

(2) \(x_n\) の逆数をとって分母を有理化します。
 
\[\begin{align*}\frac{1}{x_n}=&\frac{2}{n+\sqrt{n^2+4}}\\[6pt]
=&\frac{2\:(n-\sqrt{n^2+4})}{(n+\sqrt{n^2+4})(n-\sqrt{n^2+4})}\\[6pt]
=&\frac{2\:(n-\sqrt{n^2+4})}{-4}\\[6pt]
=&\frac{-n+\sqrt{n^2+4}}{2}\end{align*}\]

 \(x_n-1/x_n\) を計算すると
 
\[x_n-\frac{1}{x_n}=\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}-\frac{-n+\sqrt{n^2+4}}{2}=n\]
となります。 ≫ [問題27] 因数定理 ≫ 数学演習問題

白銀比は日本古来の比率です

 1:√2 または 1:1 + √2 という比率は「白銀比」とよばれています。とくに 1:√2 の白銀比は奈良の法隆寺にも取り入れられるなど、日本で古くから親しまれてきた比率であり、「大和比」ともよばれています。現代でもコピー用紙や A5 ノートなど身近なところで目にします。黄金比が「美しさ」を強調するのに対して、白銀比は「実用性」の高い比率だと言われ、工業製品の規格に多用されています。

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