(-1) × (-1) = 1 となる理由
(足し算と 0 の演算規則から導きます)

 中学校の数学の授業で「マイナス × マイナスはプラスになる」と説明されて、納得しがたい思いをした人も多かったのではないでしょうか。こうした混乱の原因は、はたしてこの演算が

 ① 恣意的に決めたルール(定義)

であるのか、

 ② あまりにも自明なので、証明なしに認めてもらうこと(公理)

なのか、あるいは

 ③ 他の規則から導かれる性質(定理)

であるのか、はっきりと説明されていないことに原因があるのではないかと思います。結論から言うと、

(-1) × (-1) = 1

は ③ に相当します。他の前提(足し算や 0 の演算規則など)からきちんと導かれる定理です。それでは、さっそく証明してみましょう。

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(-1) × (-1) = 1 となることの証明

 次のような 0 を使った式から始めます。

(-1) × 0 = 0

 0 = 1 + (-1) という形にわざわざ書き直して

(-1) × [1 + (-1)] = 0

とします。左辺を展開して

(-1) × 1 + (-1) × (-1) = 0

-1 + (-1) × (-1) = 0   

両辺に 1 を加えて

(-1) × (-1) = 1

となります。(証明終わり)

 証明に用いているのは足し算や 0 の演算規則などです。
 ちなみに「 a × 0 = 0 」などは 0 という数の性質を定める定義ですから、どこからか導かれる類のものではありません。 ≫ 数学よもやま話

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コメント

  1. 匿名 より:

    (-1)×(-1)=1は、私は定義だと思っています。

    定理だとおっしゃるのなら、では(-1)×(-1)の定義は何だとお考えですか?

    • Blog Cat より:

       コメントありがとうございます。
       以下の環の公理を認めることから出発したいと思います。

       R1 a + b = b + a
       R2 a + (b + c) = (a + b) + c
       R3 a + 0 = 0 + a = a を満たす数 0 が存在する
       R4 a + (-a) = (-a) + a = 0 となる反数 a が存在する
       R5 ab = ba
       R6 (ab)c = a(bc)
       R7 a・1 = 1・a = a
       R8 a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca

       R4 により -1 は 1 の反数です。あえて、ここではその反数を a とおいてみます(公理によって存在するとされています)。つまり a は

       a + 1 = 0

      をみたす数です。(-1)×(-1) は

       a × a

      と書き直せます。これが (-1)×(-1) の定義、つまり「 1 の反数同士の積」であると考えています。公理によって

       a × (a + 1) = a × 0 = 0
       a × (a + 1) = a × a + a

      の2通りの形で表すことができます。よって

       a × a + a = 0

       両辺に a の反数 1 を加えると

       a × a + a + 1 = 1

       a + 1 = 0 ですから、

       a × a = 1

      が導かれます …… たぶんこれでいいと思いますけど、あまり自信はないです。まだどこかに穴があるかもしれません。不備を見つけたら、またどんどん指摘してくださいね。何はともあれ(スパム以外で)初めてのコメントなので嬉しいです。またよろしくです♪

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