10 の位の合計が 10 で 1 の位が等しい数同士の掛け算

 前回と同じようなタイトルで混乱してしまうかもしれませんけど、今回は次のような計算を素早く行うことを解説します。

 掛け算十和一等

 今回も結論から載せますが、計算法は次のようになります。

 掛け算十和一等計算法

 10 の位同士を掛け合わせて 1 の位を足して 100 の位とします。
 1 の位同士をそのまま掛け合わせて右横に書きます。

 それでは、この計算法が成り立つ理由を解説します。

文字を使った一般的な表示

 2 つの数 m, n を次のように表します。

m = 10 a + b, n = 10(10 - a) + b

と表すことができます。ただし、

a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
b = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

という整数に限定されます。m と n の 10 の位を示す数字は

a, 10 - a

は足し合わせると 10 になっていますね。 m と n の積をつくると、

  m n = [10 a + b][10(10 - a) + b]
     = 10(10 a + b)(10 - a) + b (10 a + b)
     = 10(100 a - 10 a2 + 10 b - a b) + 10 a b + b2
     = 100 a [a (10 - a) + b] + b2

 少し計算が難しいですけど、数学ではこういう計算が大切ですので、ぜひ紙に書いて練習するようにしてください。 a (10 - a) + b は「 10 の位同士を掛け合わせて 1 の位を足す」ことを、 b2 は「 1 の位同士をそのまま掛け合わせる」ことを表していますね。
 

具体的な計算例

 それでは具体的な計算例を見ていきます。

19 × 96 = 1536,  33 × 73 = 2409,  65 × 45 = 2925

 冒頭の計算規則とよく見比べて確認してください。

問題① 次の式を計算してください

(1) 22 × 82  (2) 47 × 67  (3) 89 × 29
(4) 35 × 75  (5) 49 × 51  (6) 94× 14

問題①の解答

(1) 22 × 82 = 1804  (2) 47 × 67 = 3149  (3) 89 × 29 = 2581
(4) 35 × 75 = 2625  (5) 49 × 51 = 2499  (6) 94× 14 = 1316
 

公式からずれても計算できます

 公式から少しずれた場合でも工夫して応用できます:

22 × 83 = 22 × (82 + 1) = 1804 + 22 = 1826
47 × 68 = 47 × (67 + 1) = 3149 + 47 = 3196
35 × 76 = 35 × (75 + 1) = 2625 + 35 = 2660

 

10 の位が 5 、1 の位が等しい数の平方数

 10 の位が 5 で 1 の位が等しい数字を 2 乗するときは、この計算法が使えます:

  512 = 51 × 51 = 2601

  522 = 52 × 52 = 2704

  532 = 53 × 53 = 2809

問題② 次の式を計算してください

(1) 542  (2) 552  (3) 562
(4) 572  (5) 582  (6) 592

問題②の解答

(1) 542 = 2916  (2) 552 = 3025  (3) 562 = 3136
(4) 572 = 3249  (5) 582 = 3364  (6) 592 = 3481

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