ネイピア数 e の定義と無理数であることの証明

 

ネイピア数 Napier's Number

 ネイピア数 (Napier's number) は次のように定義されます。

\[\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n=2.71828 ... \tag{1}\]

 $a_n=(1+1/n)$ に n の具体的な値を入れると
\[\begin{align*}a_{10}=2.59374\\[6pt]
a_{100}=2.70481\\[6pt]
a_{1000}=2.71692\\[6pt]
a_{10000}=2.71815\\[6pt]
a_{100000}=2.71827\\[6pt]
a_{800000}=2.71828\\[6pt]\end{align*}\]というような近似値を得ることができます。

$a_n=(1+1/n)^n$ が収束することの証明

 上に有界な単調増加数列は収束する という定理を用いて $a_n=(1+1/n)^n$ が収束することを証明します。まずはこの数列が単調増加数列であることを示します。 2 項展開公式
 
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\]
によって $a_n=(1+1/n)^n$ は
 
\[\begin{align*}
a_n=&\binom{n}{0}\frac{1}{n^0}+\binom{n}{1}\frac{1}{n^1}+\binom{n}{2}\frac{1}{n^2}+\binom{n}{3}\frac{1}{n^3}\\[6pt]
&+\: \cdots \:+\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}+\: \cdots \:+\binom{n}{n}\frac{1}{n^n}\end{align*}\]
と展開できます。ここで $\displaystyle \binom{n}{k}$ は 2 項係数であり
 
\[\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\: \cdots \:(n-k+1)}{k!}\]
と表されます。 2 項係数の具体的な表式を入れると
 
\[\begin{align*}a_n=&1+n \cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}\\[6pt]
&+\: \cdots \:+\frac{n(n-1)\: \cdots \:(n-r+1)}{k!}\frac{1}{n^k}+\: \cdots \:+\frac{1}{n^n}\\[6pt]
=&1+1+\frac{1}{2!}\left( 1-\frac{1}{n} \right)+\frac{1}{3!}\left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n} \right)\\[6pt]
&+\: \cdots \:+\frac{1}{k!}\left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n} \right)\: \cdots \:\left( 1-\frac{k-1}{n} \right)\\[6pt]
&+\: \cdots \:+\frac{1}{n!}\left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n} \right)\: \cdots \:\left( 1-\frac{n-1}{n} \right)\end{align*}\]
となります。この式で $n$ を $n+1$ に置き換えると
 
\[a_{n+1}=1+1+\frac{1}{2!}\left( 1-\frac{1}{n+1} \right)+\frac{1}{3!}\left( 1-\frac{1}{n+1} \right) \left( 1-\frac{2}{n+1} \right) +\:\cdots\]
となり、第 3 項移項は $a_n$ よりも $a_{n+1}$ のほうが値が大きく、$a_{n+1}$ は $a_n$ よりも項数が 1 つ多いので $a_n \lt a_{n+1}$ が常に成り立っています。よって数列 $\{a_n\}$ は単調増加数列です。次に $\{a_n\}$ が上に有界な数列であることを示します。$a_n$ の 2 項展開式の第 $k$ 項に着目すると
 
\[\frac{1}{k!}\left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n} \right)\: \cdots \:\left( 1-\frac{k-1}{n} \right) \lt \frac{1}{k!} \lt \frac{1}{2^{k-1}}\]
が成り立っています。よって
 
\[\begin{align*}a_n &\lt 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\: \cdots \: +\frac{1}{2^{n-1}}\\[6pt]
&=1+\frac{1-1/2^n}{1-1/2}=3-\frac{1}{2^{n-1}} \lt 3\end{align*}\]
となるので、$\{a_n\}$ は上に有界な数列です。上に有界な単調増加数列は必ず収束するので、ネイピア数 $e$ は収束します。
 

実数によるネイピア数の定義
 Napier's Number defined by real number

 (1) は実数 $x$ によって

\[e=\lim_{x\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x}\right)^n=2.71828 ... \tag{2}\]

と定義することができます。

(2) = (1) の証明

 (2) が (1) と一致することを証明します。
 
\[a=\lim_{x\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x}\right)^n\]
とおいて、実数 $x$ を $n \leq x \lt n+1$ とします。逆数をとると
 
\[\frac{1}{n+1} \lt \frac{1}{x} \leq \frac{1}{n}\]
となります。各辺に 1 を加えて
 
\[1+\frac{1}{n+1} \lt 1+\frac{1}{x} \lt 1+\frac{1}{n}\]
  $n \leq x \lt n+1$ より
 
\[\left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^n \lt \left( 1+\frac{1}{x}\right)^x \lt \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\]
ここで $n\rightarrow \infty$ とすると
 
\[e \leq a \leq e\]
となって、$a$ はネイピア数 $e$ に等しいことがわかります。
 

級数によるネイピア数の定義
 Napier's Number defined by series

 微分しても形を変えない指数関数 $e^x$ の底 $e$ をネイピア数であると定義するだけで、$e$ を級数の形で表すこともできます。すなわち $x=0$ におけるテイラー級数の式
 
\[f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+R_{n+1}\]
において $f(x)=e^x$ とおくと、
 
\[f^{(k)}(x)=e^x,\quad f^{(k)}(0)=1\]
なので、
 
\[e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}x^k+R_{n+1}\]
となります。ここでラグランジュ型剰余項は
 
\[R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}=\frac{e^cx^{n+1}}{(n+1)!},\quad (0 \lt c \lt x)\]
と表され、$n\rightarrow \infty$ のとき剰余項は 0 に収束します。よってネイピア数を底とする指数関数 $e^x$ は
 
\[e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}x^k=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\: \cdots\]
と級数展開され、ネイピア数は $x=1$ として
 
\[e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\: \cdots\]
と表されることになります。この級数は収束が早く、第 10 項までとれば $e=2.71828$ という非常に良い近似値が得られます。
 

ネイピア数が無理数であることの証明

 ネイピア数が無理数であることを証明します。
 まず e を級数展開すると
 
\[e=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \cdots \tag{1}\]
 ここで e が有理数である、すなわち自然数 m, n を使って
 
\[e=\frac{m}{n}\tag{2}\]
と表せると仮定して両辺に n! をかけると、
 
\[n!\: e=(n-1)!\: m\]
となり、これは明らかに整数です。一方で (1) に n! をかけると
 
\[\begin{align*}n!\: e=&n!\left [ 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \cdots \right ]\\
&+n!\left [ \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{(n+3)!}+\cdots \cdots \right ]\end{align*}\]
のように表されますが、第 1 項は
 
\[n!+n!+\frac{n!}{2!}+\frac{n!}{3!}+\cdots \cdots +1\]
となって明らかに整数です。第 2 項を評価すると
 
\[\begin{align*}&\frac{n!}{(n+1)!}+\frac{n!}{(n+2)!}+\frac{n!}{(n+3)!}+\cdots \cdots \\
&=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots \cdots \\
&\leq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^3}+\cdots \cdots=\frac{\cfrac{1}{n+1}}{1-\cfrac{1}{n+1}}=\frac{1}{n}<1\end{align*}\] となり、これは非整数です。つまり (1) は非整数であり、(2) は整数となって矛盾します。よって e は無理数です。 ≫ 数学事典

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