因数分解を使って2次方程式を解きます

 前回まで色々な手法を駆使して2次式 P(x) を1次式 A(x), B(x) の積
 
\[P(x)=A(x)B(x)\]
という形に因数分解することを学んできました。何のために因数分解をこれほど一生懸命練習してきたのかというと、それはもちろん2次方程式を解くためです。つまり P(x) = 0 という方程式が
 
\[A(x)B(x)=0\]
という形に直すことができれば、 A(x) = 0 あるいは B(x) = 0 であれば、必ず左辺は 0 となって方程式をみたしていることがわかります。
 2次方程式に限らず、3次や4次など、より高い次数の方程式であっても、整数係数の1次式の積の形に直すことができれば(いつも上手くゆくとは限りませんが)、1次方程式を解くことによって解を求めることができるのです。それでは因数分解の復習も兼ねて、いくつかの2次方程式を解いてみましょう。

2次方程式の解き方

 最初の例として次のような方程式を解いてみましょう。
 
\[x^2+6x+9=0\]
 まず左辺を因数分解します。
 定数項が 9 = 32, x の係数が 3 の2倍となっていることに着目して、
 
\[(x-3)^2=0\]
となりますね。つまり
 
\[x-3=0\]
という1次方程式を解けば x = 3 という解が得られます。次は
 
\[x^2-6x+5=0\]
という方程式です。 定数項が 5 = (-1)(-5) 、 x の係数が -6 = -1 + -5 なので、
 
\[(x-1)(x-5)=0\]
というように因数分解できます。よって、
 

\(x-1=0\) または \(x-5=0\)

 
を解いて x = 1, 5 が解となります。次は
 
\[6x^2-7x-3=0\]
という方程式です。これは「たすきがけ」を使うのでしたよね。

 Excel方程式たすきがけ

 図のようにして
 
\[(2x-3)(3x+1)=0\]
と因数分解します。解は x = 3/2, -1/3 となります。

練習問題① 2次方程式を解いてください

\((1)\:x^2-10x+25\)
\((2)\:x^2+x-6=0\)
\((3)\:x^2-10x+24=0\)
\((4)\:3x^2+2x-16=0\)
\((5)\:x^2-(\sqrt{2}+\sqrt{3})+6=0\)

練習問題①の解答

\((1)\:(x-5)^2=0 \qquad \therefore x=5\)
\((2)\:(x-2)(x+3)=0 \qquad \therefore x=2,\:-3\)
\((3)\:(x-4)(x-6)=0 \qquad \therefore x=4,\:6\)
\((4)\:(x-2)(3x+8)=0 \qquad \therefore x=2,\:-8/3\)
\((5)\:(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{3})=0 \qquad \therefore x=\sqrt{2},\:\sqrt{3}\)

練習問題②

 2次方程式 \(4x^2-(k+8)x-k=0\) の解の1つが x = 3 であるとき、
 もう1つの解を求めてください。

練習問題②の解答

 x = 3 が解なので方程式に代入すると
 
\[36-3(k+8)-k=0\]
これを解いて k = 3 を得るので与えられた方程式は
 
\[4x^2-11x-3=0\]
となります。左辺を因数分解して
 
\[(x-3)(4x+1)=0\]
となるので、x = -1/4 がもう1つの解となります。

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