(a + 1)2, (a - 1)2 型の掛け算

 以前に文字式に関する講座で、

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2  [1]
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2  [2]

という公式を学びましたね。そのときにもいくつか実際の計算への応用を紹介しましたが、ここで改めて練習しておきましょう。b が大きすぎると計算しづらくなるので、実際には b = 1 で使えば充分です。
 

(a + 1)2 型の掛け算

 公式 [1] に b = 1 を代入すると

(a + 1)2 = a2 + 2 a + 1  [4]

となります。112 から 1012 まで、この公式で計算できます。

   112 = 102 + 2・10 + 1 = 121
   212 = 202 + 2・20 + 1 = 441
   312 = 302 + 2・30 + 1 = 961
   412 = 402 + 2・40 + 1 = 1681

 ここで 512 は 10 の位の和が 10 かつ 1 の位が等しいので、前回に解説した手順で計算します:

 十和一等51×51

 どの計算にどの公式を用いるかを瞬間的に判断するには、やはり訓練を重ねる必要がありますので、今はひたすら練習あるのみです。 612 から 1012 までの計算は練習問題とします。

問題① 次の式を計算してください

(1) 612  (2) 712  (3) 812  (4) 912  (5) 1012

問題①の解答

(1) 612 = 602 + 2・60 + 1 = 3721
(2) 712 = 702 + 2・70 + 1 = 5041
(3) 812 = 802 + 2・80 + 1 = 6561
(4) 912 = 902 + 2・90 + 1 = 8281
(5) 1012 = 1002 + 2・100 + 1 = 10201
 

(a - 1)2 型の掛け算

 公式 [2] に b = 1 を代入すると

(a - 1)2 = a2 - 2 a + 1  [4]

となります。これは 192 や 292 などを計算するときに用いる公式です。

   192 = 202 - 2・20 + 1 = 361
   292 = 302 - 2・30 + 1 = 841
   392 = 402 - 2・40 + 1 = 1521

問題② 次の式を計算してください

(1) 492  (2) 592  (3) 692  (4) 792  (5) 892  (6) 992

問題②の解答

(1) 492 = 502 - 2・50 + 1 = 2401
(2) 592 = 602 - 2・60 + 1 = 3481
(3) 692 = 702 - 2・70 + 1 = 4761
(4) 792 = 802 - 2・80 + 1 = 6241
(5) 892 = 902 - 2・90 + 1 = 7921
(6) 992 = 1002 - 2・100 + 1 = 9801
 

いくつかの平方数は記憶しておきましょう

 余力がある人は 11 から 19 までの平方数を暗記しておくことをお勧めします。
112 = 121 や 122 = 144 を知っていれば、

   1112 = 12100 + 2・110 + 1 = 12321
   1212 = 14400 + 2・120 + 1 = 14641

というような桁数の多い平方数も素早く計算できます。

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