たった1本だけ接線を引ける座標を求めます

[問題 CL-13] 1本だけ接線を引ける座標を求めます

 曲線 \(y=e^{-x^2}\) にたった1本の接線が引けるような座標 \((a,\:0)\) を求めて、
 曲線の概形と接線を図示してください。
 
 

ヒント(1本だけ接線の引けるような点があります)

 曲線 \(y=e^{-x^2}\) には1本だけ接線が引ける不思議な(?)点がいくつかあります。
 何はともあれ、まずは \(y=e^{-x^2}\) のグラフを描いてみましょう。
 そのときにグラフの「対称性」に着目すると作業が楽になりますよ。
 変曲点も忘れずに。今回はやさしい問題です。
 

【購入特典付】Microsoft Office 365 Solo (1年版)|オンラインコード版|Win/Mac/iPad対応

新品価格
¥11,581から
(2017/9/1 23:01時点)

問題 CL-13 の解答

 曲線 \(f(x)=e^{-x^2}\) は偶関数ですから y 軸に関して対称です。よって x ≧ 0 だけ考えれば充分です。まず y = f(x) の基本的な情報として f(0) = 1 、 x → ∞ において f(x) → 0 はすぐにわかります。さらに1階微分と2階微分を計算すると
 
\[y'=-2xe^{-x^2},\quad y''=(4x^2-2)e^{-x^2}\]
 したがって y' = 0 となる点(極値)は x = 0, y”= 0 となる点(変曲点)は
 \(x= \pm \sqrt{2}/2\) となります。増減表は次のようになります。

 エクセルy=exp(-x^2)増減表

 今度は接線を求めます。
 曲線上の点 \((t,\:e^{-t^2})\) を通る接線の方程式は
 
\[y-e^{-t^2}=-2te^{-t^2}(x-t)\]
と書けます。この直線が \((a,\:0)\) を通るので、
 
\[-e^{-t^2}=-2t-e^{-t^2}(a-t)\]
 指数部分は正ですから落としてしまって整理すると
 
\[2t^2-2at+1=0\]
という2次方程式を得られます。接線が1本ということは、この方程式が1つの解をもつということなので、判別式が 0 になるということです。
 
\[D/4=a^2-2=0\]
 よって \(a= \pm \sqrt{2}\) と定まります。
 接点の座標は \((-\sqrt{2},\:e^{-1/2})\) および \((\sqrt{2},\:e^{-1/2})\) です。
 つまり \((\pm \sqrt{2},\:0)\) の2点から引ける接線は1本であり、接点は変曲点に一致します。
 ちなみに判別式から \(a \lt -\sqrt{2},\:0 \gt \sqrt{2}\) においては2本の接線が引けること、
 また \(-\sqrt{2} \gt a \lt \sqrt{2}\) においては1本の接線も引けないことがわかります。
 以上のことを図示すると次のようになります。

 エクセルy=exp(-x^2)グラフ
 ≫ [問題14] 接線と x, y 軸がつくる三角形 ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください