アキレスとカメのパラドックス アキレスは亀を追い越せる?

 久しぶりの「数学よもやま話」です。
 今回はあの有名な アキレスとカメのパラドックス のお話です。
 

アキレスとカメのパラドックス

 「アキレスとカメのパラドックス」では、足の速いアキレスがカメと徒競走します。もちろん普通に競争したのでは勝負になるはずもありませんからハンデをつけます。アキレスはカメよりずーっと後ろのほうからスタートすることになります。ハンデの距離やゴール地点の位置によって勝敗は様々でしょうけど、そんなことは脇に置いておきます。ちょっと下図を見てください。

 アキレスとカメのparadox

 アキレスはカメとの距離をどんどん縮めていきます。
 アキレスはやがてカメのスタート地点 A に辿り着くはずです。しかし、カメもその間に少しは前に進んでいるはずで、このときのカメの位置を B とします。アキレスはまた走って B に達しますが、その間にカメは C に達しています。そこでまたアキレスはまた走って C に ....... あれ? こんなことを永遠に繰り返していては、いつまでたってもアキレスはカメに追いつけませんよ。いったいどういうことなのでしょう? これが「アキレスとカメのパラドックス」です。

 このパラドックスを初めて見る人は「ああでもない、こうでもない」としばらく考えてみてください。でも、このままではちょっと考えにくいので、問題の本質を変えないように少しだけアレンジしてみます。アキレスとカメの相対距離に着目してそれを棒グラフで表してみます。

 アキレスとカメの棒グラフ

 白い部分がカメとの間にある距離、赤い部分はすでに縮めた距離です。
 アキレスはある時点で最初に離れていた距離の半分に達するはずですね。
 さらに時間が経過すると、そのまた半分の距離を縮めます。
 そしてまた時間が経過すると、そのまた半分の距離を縮めて ......
 半分、半分、また半分 ...... と無限に繰り返されます。
 

数学? それとも物理?

 「アキレスとカメ」は古代ギリシアのゼノンという哲学者が考案したパラドックスです。現代では数学の抽象化が進み、自然科学はその近似的モデルの構築するために数学を用いるという考え方が基本ですが、古代ギリシアでは「数学 = 自然界の法則」と考える傾向が強かったので、このパラドックスは数学と物理学の両方に対する問題提議と捉えてよいと思います。まずは数学的解決法から見ていきます。
 

数学的解決法

 数学では公理(なにものからも証明されない自明の事実)として実数が連続であることを決めています。つまり実数直線は際限なく小さく分割することができます。このような前提のもとに微分積分という学問は組み立てられています。とにかく数学の問題であれば級数の計算で「アキレスとカメのパラドックス」を完全に解決できます。

 アキレスが相対距離を 1/2, 1/4, 1/8 ...... と縮めていくので、

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 ......

 という無限に続く足し算を行うのですが、これは級数の初等的な問題で、

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 ...... = 1

と計算できることが知られています。

 これは小さな数を次々と足していって、塵も積もれば 1 となるということを表した式なのですが、この「無限に足す操作」は、あくまで距離に関する足し算であって、逆の見方をすれば、アキレスとカメの相対距離 1 を無限に切り分けたというだけのことです。これは時間とは一切関係ありません。距離が無数に分割されるからといって、その距離を通過するのに無限の時間がかかるというわけではないのです。つまり「いつまでたっても追いつけない」という言葉自体、空間に対する無限分割操作と時間の無限を混同してしまっているので、ちょっと問題提議の仕方に無理があるのです。

 さらにもう少し細かいことを言うと、数学においては時間という概念は存在しないので、仮に自然界の距離や時間を x(t) = vt という形で投影させるにしても、数学的にいえば 2 つの実数の集合 x, t 同士を結びつけた関数でしかないということです(横軸に t, 縦軸に x をとれば直線グラフになります)。適当な t をとればカメのいる位置を追い越したところにアキレスは存在することになります。

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物理学的解決法?

 これが物理学の話になると、事情はまったく違ってきます。現代の理論物理学は空間に最小の単位があることを示しています(という説が有力です)。空間をどんどん小さく分割していけば、どこかで終わります。だから「アキレスがまず半分距離を縮めて、さらに半分を ...... 」ということを無限に繰り返すことができません。

 そもそも、このパラドックスには

移動すること = アキレスとカメの間にある点を全て通過すること

という暗黙の前提が含まれていますが、量子力学の適用される極微の世界においては、物質の位置そのものが空間的広がりをもっています。たとえばアキレスとカメをそれぞれ小さな粒子に置き換えてみると、2つの粒子を合わせた系の波動関数(存在確率を表す波)を計算しながら「えーと、アキレスがここにいて、カメがこちらに見出される確率は ...... 」という説明の仕方になってしまいます。

 なんだか妙な終わり方になってしまいましたけど、このパラドックスに関する皆さんの見解も伺いたいので、ぜひコメントください。次回も引き続き「無限」に関する話題です。 ≫ 無限は実在する? ≫ 数学よもやま話

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コメント

  1. カズキ より:

    亀が動いてる以上、亀のスタート地点はスタートした次の瞬間から、亀のいない場所なので、そこにばかり注目するのは、距離と時間を永遠に短く分割して亀に追い付く前の瞬間を見続けていることになると考えます。

    • Blog Cat より:

       確かにその通りですね! カズキさんの表現が最も的確にこのパラドックスの本質を表していると思います。アキレスとカメのパラドックスについてはあちこちで色々な解説がなされていますが、これほど簡潔な表現を目にしたのは初めてです。ありがとうございます。

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