円周率が無理数であることの証明

 円周率πは \(\mathrm{sin}\pi=0,\:\:\:\mathrm{cos}\pi=-1\) であると定義して無理数であることを証明します。

証明

 まず次のような関数を定義します。
 
\[f(x)=\frac{p^n}{n!}x^n(\pi-x)^n\]
定義から明らかなように、f(x) は
 
\[f(x)=f(\pi-x)\]
という周期性があり、m 階導関数について
 
\[f^{(m)}(\pi)=(-1)^mf^{(m)}(0)\]
という関係をみたします。この f(x) に sinx をかけて 0 からπまで積分した値を I とおきます。
 
\[I=\int_{0}^{\pi}f(x)\mathrm{sin}xdx\]
この積分値 I について2通りの方法で評価します。

① \(0< x< \pi\) より
 
\[0< x(\pi-x)< \pi(\pi-x)< \pi^2\]
n 乗して n! で割ります。
 
\[\begin{align*}&0< \frac{p^n}{n!}x^n(\pi-x)^n< \frac{p^n}{n!}\pi^2n\\
&0< f(x)< \frac{p^n}{n!}\pi^2n\end{align*}\]
\(0< x< \pi\) の範囲では \(0< sinx< 1\) なので
 
\[0< f(x)\mathrm{sin}x< \frac{p^n}{n!}\pi^2n\]
0 からπまで積分すると
 
\[0< I< \frac{(p\pi^2)^n}{n!}\pi\]
ここで
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\alpha ^n}{n!}=0 \tag{1}\]
が成り立つので(証明は「αn / n! の極限」)、適当に大きな n をとれば
 
\[0< I< 1\]
となります。

② 部分積分によって実際に I を計算します。ここで
 
\[\int f(x)\mathrm{sin}xdx=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^k\: [f^{(2k+1)}(x)\mathrm{sin}x-f^{(2k)}(x)\mathrm{cos}x] \tag{1}\]
という積分公式を用いると(証明は「f(x)sinx と f(x)cosx の積分」)、
 
\[I=2\sum_{k=0}^{n}(-1)^kf^{(2k)}(0)\]
が得られます。ここで 2 項展開の公式
 
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k\:a^{k}\:b^{\:n-k}\]
を用いて f(x) を展開すると
 
\[f(x)=\frac{p^n}{n!}\: \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\, _{n}C_{k}\pi^{n-k}x^{n+k}\]
xn の係数を簡単に an で表すと、
 
\[f(x)=a_nx^n+a_{n+1}x^{n+1}+\cdots +a_{n+k}x^{n+k}+\cdots \]
となります。これを n + k 回微分すると、 xn+k 以降を微分した項だけが残り、また xn+k を微分した項のみ定数となります。よって x = 0 を代入すると xn+k を微分した項以外は全て消えます。よって
 
\[f^{n+k}(0)=\frac{p^n}{n!}(-1)^k\, _{n}C_{k}(n+k)!\: \pi^{n-k}\]
となります。ここで円周率が自然数 a, b によって
 
\[\pi=\frac{b}{a}\]
と書ける(つまり有理数である)と仮定します。f(x) の p は任意ですから p を a で置き換えてみると
 
\[p^n\pi^{n-k}=a^n\pi^{n-k}=a^n\left ( \frac{b}{a} \right )^{n-k}=a^k\: b^{n-k}\]
これは整数です。つまり I は整数ということになります。しかし①で I は 0 から 1 の間にある数だと評価しました。これは矛盾します。よって円周率は無理数です。
 ≫ 数学事典

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