三角形の頂点 P の極限の位置を求めます

[問題 CL-06] 三角形の頂点 P の極限の位置

三角形triangleの極限(浮舟みつき) 図のような三角形 ABP があり、∠A = nθ、∠B = θ とします。
 底辺 AB を固定しておいて θ → 0 としたとき、頂点 P の極限の位置を求めてください。
 
 
 

ヒント(最終的に P はどこに?)

 図をじっと見つめてみると、n を大きくしたら P は左へ寄りますし、n を小さくしたら右へ移動しますね。だから、最終的に P がどこにくるのか、なんとなく予想できます。

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問題 CL-06 の解答

 AB = a とおきます。∠P = π - nθ なので、正弦定理より

\[\frac{AP}{\sin \theta}=\frac{a}{\sin (\pi-n\theta)}=\frac{a}{\sin n\theta}\]が成り立つので、

\[AP=\frac{\sin \theta}{\sin n\theta}\]と表せます。 θ → 0 の極限をとると

\[\lim_{\theta \rightarrow 0}=\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{n\theta}{\sin n\theta} \frac{\sin \theta}{\theta} \frac{a}{n}=\frac{a}{n}\]
となります。すなわち点 P は AB を 1:n に内分する点です。

 ≫ [問題07] 角度比の極限値 ≫ 数学演習問題

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