素数が無限に存在することの証明

素数が無限に存在することの証明

 素数が無限に存在することは、今から 2000 年以上も昔に証明されています。ユークリッドの『原論』第 9 巻命題 20 には驚くほど簡単な証明法が載せられています。

[定理 B5] 素数は無限に存在します

定理 B5(素数が無限に存在すること)の証明① ユークリッド『原論』に記載された方法

 素数が有限個 ($k$ 個) しかないと仮定します。
 
\[p_1,\:p_2,\:\cdots\:p_k\]
 これ以外はすべて合成数です。
 この有限個の素数を用いて新しい数をつくります。
 
\[N=p_1\,p_2\,\cdots\,p_k+1\]
 この数はどの素数とも異なっているので合成数です。
 つまり有限個の素数のうちどれかで割り切れるはずです。
 しかし、どの素数 $p_i$ で割っても必ず 1 が余ります。これは合成数であることに矛盾しているので、やはり素数は無限個存在することになります。(証明終)
 

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定理 B5(素数が無限に存在すること)の証明② オイラーによる証明

 ① の方法が最も有名でエレガントな証明法ですが、素数が無限に存在することは数論の根幹をなす重要な定理なので、現代に至るまで各時代で他にもたくさんの証明法が考え出されてきました。ここでは、その中からオイラーによる証明法を紹介しておきます。ただし無限等比級数の公式など、数学Ⅲ程度の予備知識は必要です。

 ある素数 $p_i$ について、$1/p_i\lt 1$ なので、無限等比級数の公式を用いて
 
\[\frac{1}{1-\cfrac{1}{p_i}}=1+\frac{1}{p_i}+\frac{1}{p_i^2}+\cdots\tag{1}\]
のように級数展開することができます。ここで素数は有限個しか存在しないと仮定します。
 
\[p_1,\,p_2,\:\cdots\:p_k\]
 これらの素数について (1) 式をつくり、それを全て掛けます。
 
\[\prod_{i=1}^{k}\frac{1}{1-\cfrac{1}{p_i}}=\left(1+\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_1^2}+\cdots\right)\left(1+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_2^2}+\cdots\right)\cdots\tag{2}\]
 ここで $\displaystyle \prod_{i=1}^{k}$ は $1$ から $k$ までについて積をとるという記号です。
 右辺を展開すると各項の分母は
 
\[p_1^{a_1}\,p_1^{a_2}\,\cdots\,p_1^{a_k}\tag{3}\]
という形になりますが、素因数分解の仕方が一通りである という定理から、(3) には全ての自然数が重複せずに現れるはずです。すると (2) の右辺は
 
\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\]
と書けますが、これは調和級数なので +∞ に発散してしまいます。しかし (2) の左辺は有限個の積ですから、その値は有限となるはずなので矛盾しています。したがって素数は無限に存在します。(証明終)

 ≫ 互いに素である 2 数の積が平方数である場合の定理 ≫ 初等整数論入門講座

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