積の微分公式

積の微分公式 Product rule

 ある関数が $f(x),\:g(x),\:h(x)$ のような関数の積で表されている場合、微分は次のように計算します。

\[\begin{align*}&(fg)'=f'g+fg' \tag{1}\\[6pt]
&(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh' \tag{2}\end{align*}\]

積の微分公式の証明

 微分の基本定義を用いて (1) を証明します。 $y=f(x)g(x)$ とおくと
 
\[\begin{align*}y'&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\[6pt]
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{[f(x+h)-f(x)]g(x+h)+f(x)[g(x+h)-g(x)]}{h}\\[6pt]
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+\lim_{h\rightarrow 0}f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\[6pt]
&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\end{align*}\]
 公式 (1) を用いて (2) を証明します。 $y=f(x)g(x)h(x)$ とおくと
 
\[y'=f'(gh)+f(gh)'=f'(gh)+f(g'h+gh')=f'gh+fg'h+fgh'\]
 

積の微分の計算例

 積の微分について、いくつかの具体例を載せておきます。

① $y=(x+1)(x+2)$ を微分してみます。
 
\[y'=(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'=x+2+x+1=2x+3\]
 これはもちろん $(x+1)(x+2)$ を展開してから微分した結果と同じになります。

② $y=x^2e^x$ を微分してみます。 $y=x^2e^x$ とおくと
 
\[y'=2xe^x+x^2e^x=(x^2+2x)e^x\]
③ 一般に指数関数と $f(x)$ の積 $y=e^xf(x)$ の微分は
 
\[y'=e^xf(x)+e^xf'(x)=e^x[f(x)+f'(x)]\]
のように、必ず $e^x$ が外に括り出されて $y'=e^xg(x)$ のような形になります。さらにもう1度微分すると
 
\[y''=e^x[f(x)+2f'(x)+f''(x)]\]
となります。

④ 3 つの関数の積の例も見ておきましょう。
 $y=xe^x \cos x$ において $f(x)=x\cos x$ とおくと $f'(x)=\cos x-x\sin x$ なので、
 
\[f(x)+f'(x)=x(\cos x-\sin x)+\ \cos x\]
となり、先ほどの $y'=e^x[f(x)+f'(x)]$ という公式を使って
 
\[y'=e^x[x(\cos x-\sin x)+\cos x]\]
と計算できます。 ≫ 数学辞典

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