ピタゴラス方程式(既約なピタゴラス数を見つけます)

[問題 NT-13] ピタゴラス方程式

 (a, b, c) = 1 であり、ピタゴラス方程式

a2 + b2 = c2

を満たす正の整数 a, b, c の組を既約なピタゴラス数とよびます。

(1) a, b の片方は奇数で片方は偶数であることを示してください。

(2) a, b のうち少なくとも一方は 3 の倍数であることを示してください。

(3) 既約なピタゴラス数を 2 つ見つけてください。

問題 NT-13 のヒント

 (a, b) は a と b の最大公約数を表す記号です。 (a, b) = 1 と書けば a と b が互いに素である、つまり a と b の最大公約数が 1 であるという意味です。ある a, b, c がピタゴラス方程式を満たすとき、それぞれを倍にした 2a, 2b, 2c も方程式を満たしますが、そうした組は別の解とは認めないというのが (a, b, c) = 1 という条件です。(3) は (1) と (2) をヒントにしながらも、ある程度は試行錯誤で根気よく探し出す必要があります。

数論序説

問題 NT-13 の解答

(1) 自然数の 2 乗を 4 で割ったときの余りはどうなるか考えてみます。
  偶数 (= 2 m) であれば

(2 m)2 = 4 m2

となって 4 で割り切れます。奇数 (= 2 n + 1) なら

(2 n + 1)2 = 4 (n2 + n) + 1

ですから 4 で割ると 1 余ります。つまり平方数は 4 で割ったときの余りは 0 か 1 のいずれかです。これを踏まえて命題を背理法で証明します。

a, b の片方は奇数で片方は偶数である

の否定命題は

a, b は両方とも奇数であるか、両方とも偶数である

となります。仮に a, b が奇数であるなら先ほど調べたように

a2 = 2 p + 1, b2 = 2 q + 1

の形で表せます。これをピタゴラス方程式に代入して整理すると

2 (p + q) + 2 = c2

となります。c2 も 4 で割ると余りは 0 か 1 なるはずですが、上式の左辺は 4 で割ると 2 が余ってしまいますから明らかに矛盾しています。したがって a, b がともに奇数となることはありません。

 次に a, b が両方とも偶数である場合は c も偶数となり、これは既約な解ではありません。したがって a, b がともに偶数となることもありません。以上より、a, b の片方は奇数で片方は偶数であることが示されました。(証明終わり)

(2) 3 の倍数でない数は 3 m + 1, 3 m + 2 と表せるので

(3 m + 1)2 = 3 (3 m2 + 2 m) + 1
(3 m + 2)2 = 3 (3 m2 + 4 m + 1) + 1

となります。つまり 3 の倍数でない数は 3 で割ると 1 余ります。また、3 の倍数 3 n を 2 乗すると

(3 n)2 = 9 n2

ですから、3 で割り切れます。つまり全ての自然数は 2 乗すると余りは必ず 0 か 1 のどちらかになります。さて、

a, b のうち少なくとも一方は 3 の倍数である

というの否定命題は

a, b はいずれも 3 の倍数ではない

となります。そこで a, b は 3 の倍数でないと仮定して

a2 = 3 p + 1, b2 = 3 q + 1

とおいてピタゴラス方程式に代入すると

3 (p + q) + 2 = c2

となります。c2 がどのような数であっても 3 で割ると余りは 0 か 1 になるはずですが、左辺は 3 で割ると 2 が余るので矛盾しています。したがって、a, b のうち少なくとも一方は 3 の倍数であることが証明されました。(証明終わり)

(3) とりあえず (1) と (2) をヒントにして、

a = 2, b = 3

あたりを試してみると、c2 = 13 となってこれは不適です。

a = 3, b = 4

としてみると c2 = 25 となって c は自然数です。

a = 3, b = 6

 これは不適。

a = 5, b = 12

は c2 = 169 となって c は自然数。以上より、

a = 3, b = 4, c = 5
a = 5, b = 12, c = 13

はピタゴラス方程式を満たすことがわかりました。
 

[補足] ピタゴラス方程式の一般解

ピタゴラス方程式の一般解は (u, v) = 1, u > v なる整数 u, v を用いて

a = u2 - v2, b = 2 u v, c = u2 + v2

で与えられることが知られています。 u = 2, v = 1 とおいて先ほどの解と一致することを確認してみてください。 ≫ [問題14] 2 項係数の最大値 ≫ 数学演習問題

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