商の微分公式

商の微分公式 Quotient rule

 $1/f(x),\:g(x)/f(x)$ の形で表された関数の微分は次のようになります。
 

\[\begin{align*}&\left\{ \frac{1}{f(x)} \right\}' =\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2} \tag{1}\\[6pt]
&\left\{ \frac{g(x)}{f(x)} \right\}' =\frac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{\{f(x)\}^2} \tag{2}\end{align*}\]

商の微分公式の証明

 まず (1) を証明します。 $y=1/f(x)$ とおくと
 
\[\Delta y=\frac{1}{f(x+\Delta x)}-\frac{1}{f(x)}=-\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{f(x+\Delta x)f(x)}\]
となるので、
 
\[\begin{align*}
y'&=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\\[6pt]
&=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left\{ \frac{1}{f(x+\Delta x)f(x)}+\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right\}\\[6pt]
&=-\frac{1}{\{f(x)\}^2}f'(x)=-\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\end{align*}\]
 この結果と積の微分公式を用いて (2) を証明します。
 
\[\begin{align*}
\left\{ \frac{g(x)}{f(x)} \right\}' &=g'(x)\frac{1}{f(x)}+g(x)\left\{ \frac{1}{f(x)} \right\}'\\[6pt]
&=\frac{g'(x)}{f(x)}-g(x)\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\\[6pt]
&=\frac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{\{f(x)\}^2}\end{align*}\] 

商の微分公式を用いた計算例

 商の微分公式を用いた計算例をいくつか載せておきます。
 
\[\begin{align*}y&=\frac{1}{x^2+1},\quad y'=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\\[12pt]
y&=\frac{1}{\sin x},\quad y'=-\frac{\cos x}{\sin ^2x}\\[12pt]
y&=\frac{2x}{x^2+1},\quad y'=\frac{-4x^2+2}{(x^2+1)^2}\\[12pt]
y&=\frac{ax+b}{cx+d},\quad y'=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}\end{align*}\]
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