a + b √2 + c √3 = 0 をみたす有理数 a, b, c の条件

[問題 AG-02] a + b √2 + c √3 = 0

 a, b, c を有理数とします。

a + b √2 + c √3 = 0

ならば a = b = c = 0 でなければならないことを証明してください。

問題 AG-02 のヒント

 前回に引き続いて有理数と無理数の問題です。
 まず a = 0 、それから b = 0 、c = 0 と順に証明します。

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問題 AG-02 の解答

 a = b = 0 から a b = 0 を連想します。これは a, b のどちらか一方が 0 という意味ですから、与えられた条件とは異なります。しかし、ともかくも解答の取っ掛かりにはなりそうです。そこで a b を引張り出すべく条件式を

a + b √2 = - c √3   [1]

と書いてみます。両辺を 2 乗して式を変形していきます。

a2 + 2 a b √2 + 2 b2 = 3 c2   [2]
2 a b √2 = 3 c2 - 2 b2 - a2   [3]

 ここで a b ≠ 0 を仮定すると

√2 = [3 c2 - 2 b2 - a2] / (a b)

となりますが、左辺は無理数、右辺は有理数となって明らかに矛盾しています。なのですくなくとも a b = 0 が成り立つことがわかります。すると [2] から

3 c2 - 2 b2 - a2 = 0   [4]

という式が得られます。今度は条件式を

a + c √3 = - b √2   [5]

と書いて、2 乗して整理すると

2 a c √3 = 2 b2 - 3 c2 - a2   [6]

が得られます。やはり a c ≠ 0 と仮定すると矛盾しますので、a c = 0 となって、

2 b2 - 3 c2 - a2 = 0   [7]

という式が得られます。 [4] と [7] を加えると

a2 = 0  ∴ a = 0

となります。すると条件式は b ≠ 0 を仮定すると

c / b = - (√2 / √3)

となりますが、これもまた左辺が無理数、右辺が有理数となって矛盾です。よって b もやはり 0 ということになり、結局、

a = b = c = 0

でなければならないことが示されました。(証明終わり)

 ≫ [問題03] tan1°は無理数? ≫ 数学問題集

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