少なくとも1つの実数解をもつことを証明します

[問題 AG-14] 少なくとも1つの実数解をもつことの証明

 実数を係数とする 3 つの 2 次方程式
 
\[\begin{align*}ax^2+2bx+c=0\qquad \qquad (1)\\[6pt]
bx^2+2cx+a=0\qquad \qquad (2)\\[6pt]
cx^2+2ax+b=0\qquad \qquad (3)\end{align*}\]
のうち、少なくとも1つは実数解をもつことを証明してください。(広島大)

問題 AG-14 のヒント

 「少なくとも1つは実数解をもつ」ことの否定は?

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[内容:相空間の幾何学/相空間の測度/非可積分保存系/秩序パラメータ/離散動力学系/ストレンジ・アトラクター/不安定運動/セル・オートマトン/多次元相空間]

問題 AG-14 の解答

 背理法を用います。「3つの方程式のうち少なくとも1つは実数解をもつ」の否定は「3つの方程式が全て虚数解をもつ」です。これを真実だと仮定します。

 それぞれの方程式の判別式を D1/4, D2/4, D3/4 とおくと
 
\[\begin{align*}D_1 /4=b^2-ac \lt 0\\[6pt]
D_2 /4=c^2-ab \lt 0\\[6pt]
D_3 /4=a^2-bc \lt 0\end{align*}\]
が全て成立しているはずです。全て加えると
 
\[\frac{1}{4}\:(D_1+D_2+D_3) \lt 0\]
となるはずですが、実際に計算すると
 
\[\begin{align*}\frac{1}{4}(D_1+D_2+D_3)=&\:a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\[6pt]
=&\:\frac{1}{2} \:\{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \} \geq 0\end{align*}\]
となって矛盾しています。したがって方程式 (1), (2), (3) のうち少なくとも1つは実数解をもつことが証明されました。 ≫ [問題15] 複素係数 2 次方程式 ≫ 数学演習問題

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