漸化式から一般項を求める方法

漸化式Ⅰ Recurrence Equation I

 漸化式
\[a_1=a,\quad a_{n+1}=pa_n+q\tag{1}\]の一般項を求めます。 \(p=1\) のときは
\[a_{n+1}-a_n=q\]ですから、これは公差 \(q\) の等差数列です。
\[a_n=a+(n-1)q\tag{2}\] \(p \neq 1\) のときは
\[\alpha=p\alpha+q\tag{3}\]という式を作って (1) から (3) を引きます。
\[a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)\] 数列 \(\{a_n-\alpha\}\) は公比 \(p\) の等比数列なので
\[a_n-\alpha=p^{n-1}(a-\alpha)\] すなわち
\[a_n=p^{n-1}(a-\alpha)+\alpha\]という形になります。ここで \(\alpha\) は (2) の解なので
\[\alpha=\frac{q}{1-p}\]と書くことができます。ゆえに一般項は
\[a_n=\left( a-\frac{q}{1-p} \right) p^{n-1}+\frac{q}{1-p}\tag{4}\]となります。以上まとめると、

 2 項間の漸化式
\[a_1=a,\quad a_{n+1}=pa_n+q\] の一般項は
\[a_n=\left\{\begin{matrix}
a+(n-1)q\quad &(p=1)\\[6pt]
\left( a-\cfrac{q}{1-p} \right) p^{n-1}+\cfrac{q}{1-p}\quad &(p\neq 1)
\end{matrix}\right.\] で与えられます。

 これは公式ではありませんし、憶えるのは大変ですから、式を導くまでの過程を理解するようにしてください。

注意事項

 \(p=1\) のときも
\[\alpha=\alpha+q\tag{2}\]とおいてよさそうに思えますが、これは \(q=0\) のとき、つまり
\[a,\:a,\:a,\:\cdots\]という特殊な場合にしか方程式が成り立ちません。つまり \(q \neq 0\) であれば、このような \(\alpha\) は存在しないということです。

漸化式Ⅰの例

 \(a_1=4,\:a_{n+1}=3a_n-2\) の一般項を求めてみます。
 後の検算のために何項か書き下しておくと、

4, 10, 28, 82, ......

という数列です。 \(\alpha=3\alpha-2\) という式を作って漸化式から差し引くと
\[a_{n+1}-\alpha=3(a_n-\alpha)\]となります。つまり数列 \(\{a_n-1\}\) は初項4, 公比 3 の等比数列なので
\[\begin{align*}&a_n-1=3^{n-1}(4-1)\\[6pt]
&a_n=3~n+1\end{align*}\]という一般項を得られます。
 

漸化式Ⅱ Recurrence Equation Ⅱ

 漸化式
 
\[a_1=a,\quad a_{n+1}=pa_n+qn+r \tag{1}\]
の一般項を求めるには少しテクニックが必要です。それは
 
\[a_{n+1}+\alpha (n+1)+\beta=p(a_n+\alpha n+\beta) \tag{2}\]
とおいて、 $a_n+\alpha n+\beta$ が公比 $p$ の等比数列となるように $\alpha,\:\beta$ を定めるものです。実際に展開して整理してみると
 
\[a_{n+1}=pa_n+(p-1)\alpha n + p\beta -\alpha -\beta\]
となるので、元の漸化式 (1) と比較すると
 
\[q=(p-1)\alpha,\quad (p-1)\beta -\alpha=r\]
という式が得られるので、 $p \neq 1$ のときは
 
\[\alpha=\frac{q}{p-1},\quad \beta= \frac{1}{p-1} \left( r+\frac{q}{p-1} \right)\]
のように定まります。数列 $\{a_n+\alpha n+\beta\}$ は初項 $a$, 公比 $p$ の等比数列ですから、
 
\[a_n+\alpha n+\beta=ap^{n-1}\]
と書けます。つまり一般項は
 
\[a_n=ap^{n-1}-\alpha n-\beta\]
となります。 $p = 1$ のときは元の漸化式 (1) は
 
\[a_{n+1}-a_n=qn+r\]
ですから、これは階差数列の公式を用いて
 
\[\begin{align*}a_n&=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(qk+r)\\[6pt]
&=a_1+\frac{q}{2}(n-1)n+r(n-1)\\[6pt]
&=a_1+(n-1) \left( \frac{nq}{2}+r \right)\end{align*}\]
というように一般項を求めることができます。

漸化式Ⅱの実例

 次のような漸化式
 
\[a_1=1,\quad a_{n+1}=3a_n+n\]
で表される数列の一般項を求めてみます。 $a_n+\alpha n+\beta$ が等比数列になるような $\alpha,\:\beta$ があるかもしれないと仮定して
 
\[a_{n+1}+\alpha (n+1)+\beta=3(a_n+\alpha n+\beta)\]
とおいてみます。この式を整理すると
 
\[a_{n+1}=3a_n+2\alpha n-\alpha+2\beta\]
となるので、もとの漸化式と係数を比較すると
 
\[2\alpha=1,\quad 2\beta-\alpha=0\]
 したがって
 
\[\alpha=\frac{1}{2},\quad \beta=\frac{1}{4}\]
 $a_n+\alpha n+\beta$ は初項 $1+1/2+1/4=7/4$, 公比 3 の等比数列なので
 
\[a_n+\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}3^{n-1}\]
すなわち一般項は
 
\[a_n=\frac{1}{4}(7\cdot3^{n-1})-2n-1\]
となります。
 

漸化式Ⅲ Recurrence Equation Ⅲ

 漸化式
 
\[a_1=a,\quad a_{n+1}=pa_n+f(n) \tag{1}\]
の一般項を考えます。まず $p=1$ のときは
 
\[a_{n+1}-a_n=f(n)\]
となって、これは 階差数列 ですから
 
\[a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) \tag{2}\]
という公式によって求められます。もちろん $f(k)$ が和を求められるような簡単な形に限るのですが、入試などではちゃんと求められる形になっているはずです(当たり前です)。 $p \neq 1$ のときは漸化式 (1) を $p_{n+1}$ で割って
 
\[\frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\frac{a_n}{p^n}+\frac{f(n)}{p^{n+1}}\]
という式を作ります。ここで
 
\[\frac{a_n}{p^n}=b_n,\quad \frac{f(n)}{p^{n+1}}=g(n)\]
とおくと、
 
\[b_{n+1}=b_n+g(n)\]
となって階差数列に帰着するので、$b_n$ の一般項
 
\[b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}g(k)\]
を求めてから $p^n$ をかけて $a_n$ の一般項
 
\[a_n=p^n \left( \frac{a}{p}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{f(k)}{p^{k+1}} \right) \tag{3}\]
を得ることができます。ただし、やはり $g(k)$ が和を求められる形になっていることが条件となります。以上まとめると、

 漸化式 $a_1=a,\quad a_{n+1}=pa_n+f(n)$ の一般項 $a_n$ は
\[a_n=\left\{\begin{matrix}\displaystyle a+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) \quad(p=1)\\
\displaystyle p^n \left( \frac{a}{p}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{f(k)}{p^{k+1}} \right) \quad(p \neq 1)\end{matrix}\right.\]で与えられます。

漸化式Ⅲの実例

 次のような漸化式
 
\[a_1=1,\quad a_{n+1}=3a_n+3^n \quad (n \geq 1)\]
の一般項を求めてみます。両辺を $3^n$ で割ると
 
\[\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}\]
となります。ここで
 
\[b_{n+1}=b_n+\frac{1}{3}\]
となります。つまり $b_n$ は初項 1/3, 公差 1/3 の等差数列なので
 
\[b_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}(n-1)=\frac{n}{3}\]
となり、もとの漸化式の一般項は
 
\[a_n=3^n b_n=3^n \cdot \frac{n}{3}=n3^{n-1}\]
で与えられることがわかります。
 

漸化式Ⅳ Recurrence Equation Ⅳ

 次のような漸化式
 
\[a_1=a,\quad a_{n+1}=a_nf(n) \tag{1}\]
の一般項を考えます。 $n=1$ から順に項を並べてみると
 
\[\begin{align*}&a_2=a_1f(1)\\[6pt]
&a_3=a_2f(2)\\[6pt]&a_4=a_3f(3)\\[6pt]
&\cdots \cdots \cdots \\[6pt]
&a_n=a_{n-1}f(n-1)\end{align*}\]
となります。両辺を全て掛け合わせると
 
\[a_2\,a_3\,a_4 \:\cdots \: a_1f(1)\,a_2f(2)\,a_3f(3) \:\cdots \: a_{n-1}f(n-1)\]
 両辺から共通の係数を落とすと左辺には $a_n$ だけが残り
 
\[a_n=af(1)\,f(2)\,f(3) \:\cdots \: f(n-1) \quad(n \geq 2) \tag{2}\]
という一般項を得ることができます。以上まとめると

 漸化式
\[a_1=a,\quad a_{n+1}=a_nf(n) \tag{1}\] の一般項 $a_n$ は
\[a_n=a\,f(1)\,f(2)\,f(3) \:\cdots \: f(n-1) \quad(n \geq 2) \tag{2}\] で与えられます。

漸化式Ⅳの実例

 このタイプの漸化式で最も有名なのは次の形でしょう。
 
\[a_1=1,\quad a_{n+1}=(n+1)a_n\]
 数学に慣れた人なら、ひと目見ただけで「あ!」と分かってしまうかもしれませんね。まず漸化式にしたがって書き下してみると、
 
\[a_1=1,\quad a_2=2 \cdot 1,\quad a_3=3 \cdot 2 \cdot 1,\quad \cdots\]
 これでもう大体予測がつきますけど、念のために (2) を使って確認してみると、
 
\[a_n=af(1)f(2)f(3) \:\cdots \: f(n-1)=2\: \cdot 3 \cdot 4 \:\cdots \: n=n!\]
となります! ≫ 数学事典

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