連立方程式の自然数解

[問題 AG-08] 連立方程式の自然数解

 自然数 x, y, z に関する連立方程式
\[\begin{align*}&x-3y+2z=1\\&2x+y-z=1\end{align*}\]について、 x + y + z を最小にする解を求めてください。

問題 AG-08 のヒント

 未知数をこまめに消去していっても解けますが、面倒だと思われる場合は クラメルの公式 を使ってください。

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[内容:1次関数とグラフ/比例と反比例/直交座標/2元1次方程式の解をグラフで調べる/1次関数の応用問題/2乗に比例する関数/関数と変化の割合/場合の数と確率計算]

問題 AG-08 の解答

 まずは z を右側に移項しておきます。
\[\begin{align*}x-3y&=-2z+1\\2x+y&=z+1\end{align*}\] クラメルの公式を使ってみましょう。公式の使い方は簡単で、分母は ad - bc 、分子は下図のように係数を交差させて作ればよいだけです。

 クラメルの公式fig

 このやり方にしたがって x, y を求めると
\[\begin{align*}x&=\frac{1-2z-(-3)(1+z)}{1-(-6)}=\frac{z+4}{7}\\
y&=\frac{1+z-(1-2z)2}{1-(-6)}=\frac{5z-1}{7}\end{align*}\] x を最小の自然数にする z は 3 であり、またこのとき y も最小の自然数となるので、求める答えは
\[(x,\:y,\:z)=(1,\:2,\:3)\]となります。 ≫ [問題09] 等式の証明 ≫ 数学演習問題

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